ペトル=ダグラス=ノイマンの定理とは？わかりやすく解説

幾何学において、ペトル–ダグラス–ノイマンの定理（ペトル–ダグラス–ノイマンのていり、英語: Petr–Douglas–Neumann theorem,PDN-theorem）は、平面上の任意の多角形と正多角形に関する定理である^[1]。1905年と1908年、プラハとドイツにおけるカレル・ペトルの出版による発表が初出であり^[2]^[3]^[4]、その後、それぞれ1940年と1941年にジェス・ダグラスとベルンハルト・ノイマンによって、独自に再発見された^[4]^[5]^[6]。命名はStephen B Grayによる^[4]。ペトル=ダグラス=ノイマンの定理は、ダグラスの定理（Douglas's theorem）、ダグラス–ノイマンの定理（Douglas–Neumann theorem）、ナポレオン–ダグラス–ノイマンの定理（Napoleon–Douglas–Neumann theorem）、ペトルの定理（Petr's theorem）、PDN定理（PDN-theorem）などとも呼ばれる^[4]^[7]。

ペトル=ダグラス=ノイマンの定理はナポレオンの定理、ヴァン・オーベルの定理の一般化となっている。

内容

ペトル=ダグラス=ノイマンの定理の主張は以下のとおりである^[5]^[8]^[9]。

頂角が $2 k π / n$ で（kは $1 \leq k \leq n - 2$ を満たす整数）底辺をn角形 $A 0$ のそれぞれの辺とする二等辺三角形を作る。これら二等辺三角形の頂点から成るn角形 $A 1$ に対しても同様に頂角が $2 m π / n$ である（mは $1 \leq m \leq n - 2$ , $m \neq k$ を満たす整数）二等辺三角形を作る。このような過程をn−2回くり返してn角形 $A 0, A 1, A 2,..., A n -2$ を作成する。ただし、n−2回の間に、 $1 \leq k \leq n - 2$ を満たす、すべての整数kが（順序は無関係に）用いられるとする。このとき $A 0, A 1, A 2,..., A n -2$ の幾何中心はすべて一致し、さらに $A n -2$ は正n角形となる。

三角形の場合

$n = 3$ とすることで、 $1 \leq k \leq n - 2$ を満たす整数は1のみである。つまり任意の三角形のそれぞれの辺上に頂角120°の二等辺三角形を作ったとき、それら頂点からなる三角形であるナポレオンの三角形と呼ばれる正三角形の中心が、元の三角形の重心と一致する。これはナポレオンの定理である。

四角形の場合

四角形の場合、 $n = 4$ なのでkは1,2である。したがって二等辺三角形の頂角は以下のようになる。

${\frac {(2\times 1\times \pi )}{4}}={\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }\quad (k=1)$ $A 0$ =ABCD, $A 1$ =EFGH, $A 2$ =PQRS。

$A 1, A 2$ の頂角はそれぞれ $π / 2, π$ 。

A 0

=ABCD,

A 1

=EFGH,

A 2

=PQRS。

$A 1, A 2$ の頂角はそれぞれ $π, π / 2$ 。


$A 0$ が自己交叉し、 $A 1, A 2$ の頂角がそれぞれ $π / 2, π$ である場合。	$A 0$ が自己交叉し、 $A 1, A 2$ の頂角がそれぞれ $π, π / 2$ である場合。