ベーテ・サルピータ方程式

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ベーテ・サルピータ方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/09/04 10:18 UTC 版)

ベーテ・サルピータ方程式 (Bethe–Salpeter equation) は、ハンス・ベーテとエドウィン・サルピータに因む方程式で、量子場理論的な二体系（二粒子系）の束縛状態を相対論的に共変な形式で記述する。この方程式は実は南部陽一郎の1950年の論文において発表されていたが、導出を欠いていた。

ベーテ・サルピータ方程式のファインマンダイアグラム

その一般性と理論物理学の様々な分野への応用可能性から、ベーテ・サルピータ方程式は様々な形で表われる。そのうちの一つは、高エネルギー物理学において非常によく用いられるもので、次の形をしている。

$\Gamma (P,p)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\;K(P,p,k)\,S(k-P/2)\,\Gamma (P,k)\,S(k+P/2)$

ラダー近似の下のベータ・サルピータ方程式のファインマンダイアグラム

原理的には K は、二つの構成粒子の間に起こり得る全ての二粒子既約相互作用を含んでいる。したがって、実用的な計算を行うにはこれをモデル化し、そのうちの一部のみを選択する必要がある。量子場理論の枠組みでは、相互作用は粒子の交換（たとえば量子電磁力学では光子の交換、量子色力学ではグルーオンの交換）により記述されるため、最も単純な(最低次の)相互作用は媒介粒子を一つだけ交換するものとなる。

ベーテ・サルピータ方程式は相互作用を無限回足し上げるので、相互作用カーネルとして最低次の1粒子交換のみ考えると、結果としてファインマンダイアグラムはラダー（はしご）状になる。この近似をラダー近似という。

量子電磁力学ではラダー近似は単純すぎて様々な問題があり、クロスラダー項を含める必要が生じるのに対して、量子色力学の場合は、この近似がカイラル対称性の破れを考慮しており、ハドロン質量の生成の重要部分をふまえているため、ハドロンの質量の計算に非常によく用いられる^[4]。

正規化

どんな斉次方程式もそうであるように、ベーテ・サルピータ方程式の解は定数倍の任意性を持つ。この係数は特定の正規化条件により決定される。ベーテ・サルピータ振幅の場合、確率保存条件（量子力学における波動関数の正規化条件と類似している）を要求することが多く、この条件は次の等式で表される^[5]。

${\displaystyle 2P_{\mu }={\bar {\Gamma }}\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\left(S_{1}\otimes S_{2}\right)-S_{1}S_{2}\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}K\right)S_{1}S_{2}\right)\Gamma }$

束縛状態の電荷とエネルギー運動量テンソルを正規化した場合も同じ式が得られる。ラダー近似の下では相互作用カーネルはベーテ・サルピータ振幅の総運動量に依存しないので、上の条件式の第二項は消える。

関連項目

• リップマン・シュヴィンガー方程式
• シュヴィンガー・ダイソン方程式（英語版）
• ブライト方程式（英語版）
• 二体ディラック方程式（英語版）

出典

1. ^ H. Bethe, E. Salpeter (1951). “A Relativistic Equation for Bound-State Problems”. Physical Review 84 (6): 1232. Bibcode: 1951PhRv...84.1232S. doi:10.1103/PhysRev.84.1232. 
2. ^ Y. Nambu (1950). “Force Potentials in Quantum Field Theory”. Progress of Theoretical Physics 5 (4): 614. doi:10.1143/PTP.5.614. 
3. ^ M. S. Dresselhaus (2007). “Exciton Photophysics of Carbon Nanotubes”. Annual Review of Physical Chemistry 58: 719. Bibcode: 2007ARPC...58..719D. doi:10.1146/annurev.physchem.58.032806.104628. 
4. ^ ^{a b} P. Maris and P. Tandy (2006). “QCD modeling of hadron physics”. Nuclear Physics B 161: 136. arXiv:nucl-th/0511017. Bibcode: 2006NuPhS.161..136M. doi:10.1016/j.nuclphysbps.2006.08.012. 
5. ^ N. Nakanishi (1969). “A general survey of the theory of the Bethe–Salpeter equation”. Progress of Theoretical Physics Supplement 43: 1–81. Bibcode: 1969PThPS..43....1N. doi:10.1143/PTPS.43.1. 

ベーテ・サルピータ方程式をサポートするソフトウェア

• BerkeleyGW –平面波擬ポテンシャル法
• YAMBO（英語版） –平面波
• ExC -平面波
• ABINIT –平面波

参考文献

多くの現代的量子場理論の教科書やいくつかの論文がベーテ・サルピータ方程式の背景と使い方について教育的に取り上げている。

• W. Greiner, J. Reinhardt (2003). Quantum Electrodynamics (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-540-44029-1 
• Z.K. Silagadze (1998). "Wick–Cutkosky model: An introduction". arXiv:hep-ph/9803307。

中西襄によるレビュー論文も良い導入として挙げられる。

• N. Nakanishi (1969). “A general survey of the theory of the Bethe–Salpeter equation”. Progress of Theoretical Physics Supplement 43: 1–81. Bibcode: 1969PThPS..43....1N. doi:10.1143/PTPS.43.1. 

歴史的側面については、下の論文が参考になる。

• E.E. Salpeter (2008). “Bethe–Salpeter equation (origins)”. Scholarpedia 3 (11): 7483. arXiv:0811.1050. Bibcode: 2008SchpJ...3.7483S. doi:10.4249/scholarpedia.7483. http://www.scholarpedia.org/article/Bethe-Salpeter_equation_(origins).