プトレマイオスの定理

デジタル大辞泉

プトレマイオス‐の‐ていり【プトレマイオスの定理】

読み方：ぷとれまいおすのていり

円に内接する四角形の辺の長さについての定理。四角形ABCDに対し、AC・BD＝AD・BC＋AB・DCが成り立つ。すなわち、対角線の積は対辺の積の和に等しいことを意味する。古代ギリシャのプトレマイオスにより導出。トレミーの定理。

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トレミーの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/10/02 14:19 UTC 版)

トレミーの定理（トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem）とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式：

$AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC$

トレミーの定理を一般化したオイラーの定理（オイラーのていり）とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式（英: Ptolemy's inequality）：

$AC\cdot BD\leqq AD\cdot BC+AB\cdot DC$

円に関する反転を用いた証明

Dを中心とする適当な円 $\Gamma$ に関する反転 によってABCDの外接円が直線に移されるようにする。 このとき $A'B'+B'C'=A'C'$ が成り立つ。 このとき、一般性を失わずに $\Gamma$ の半径を1と置くことができる。 このとき $A'B',B'C',A'C'$はそれぞれ以下のように表される。

${\frac {AB}{DA\cdot DB}},{\frac {BC}{DB\cdot DC}},{\frac {AC}{DA\cdot DC}}$

この式の両辺に $DA\cdot DB\cdot DC$ をかけて最初の式に代入するとトレミーの定理が得られる。

一般化

一般化にケイシーの定理がある。

歴史

現代にのこる初出は、プトレマイオス『アルマゲスト』であるが、証明が初等的であるため、それ以前に発見されている可能性がある。『アルマゲスト』では、ある種の三角関数の加法定理の証明のための準備として証明されている。なお、『アルマゲスト』では現代用いられている三角関数は用いられておらず、代わりに標準的な円の半径をR（＝60）として、 $2R\sin(\theta /2)$を用いている。また、『アルマゲスト』の証明は、上記二つのいずれとも異なって、より初等的である。

参考文献

• 高木貞治『復刻版　近世数学史談・数学雑談』共立出版、1996年12月10日。ISBN 978-4-320-01551-7。 
• Glen Van Brummelen, The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry, ‎ Princeton Univ Press (2009)

関連項目

• ケイシーの定理
• トレミーの不等式
• ファン・スコーテンの定理
• フールマンの定理

外部リンク

• 『トレミーの定理』 - コトバンク
• 『プトレマイオスの定理』 - コトバンク
• 『トレミーの定理とその3通りの証明，応用例』 - 高校数学の美しい物語
• トレミーを散りばめる (PDF)
• Weisstein, Eric W. “Ptolemy's Theorem”. mathworld.wolfram.com (英語).