プトレマイオスの定理

デジタル大辞泉

プトレマイオス‐の‐ていり【プトレマイオスの定理】

読み方：ぷとれまいおすのていり

円に内接する四角形の辺の長さについての定理。四角形ABCDに対し、AC・BD＝AD・BC＋AB・DCが成り立つ。すなわち、対角線の積は対辺の積の和に等しいことを意味する。古代ギリシャのプトレマイオスにより導出。トレミーの定理。

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トレミーの定理

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トレミーの定理（トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem）とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式：

${\displaystyle AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC}$

トレミーの定理を一般化したオイラーの定理（オイラーのていり）とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式（英: Ptolemy's inequality）：

${\displaystyle AC\cdot BD\leqq AD\cdot BC+AB\cdot DC}$

円に関する反転を用いた証明

Dを中心とする適当な円 ${\displaystyle \Gamma }$