シャープ・レシオとCAPM
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/23 10:21 UTC 版)
「シャープ・レシオ」の記事における「シャープ・レシオとCAPM」の解説
CAPMとシャープ・レシオは以下のようにして関係づけられる。任意のポートフォリオ p {\displaystyle p} の収益率 R p {\displaystyle R_{p}} と市場ポートフォリオの収益率 R m {\displaystyle R_{\mathrm {m} }} の相関係数 ρ p m {\displaystyle \rho _{p\mathrm {m} }} は次で定義される。 ρ p m = C o v ( R p , R m ) V a r ( R p ) V a r ( R m ) {\displaystyle \rho _{p\mathrm {m} }={\frac {\mathrm {Cov} (R_{p},R_{\mathrm {m} })}{\sqrt {\mathrm {Var} (R_{p})\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} })}}}} ただし C o v ( R p , R m ) {\displaystyle \mathrm {Cov} (R_{p},R_{\mathrm {m} })} は R p {\displaystyle R_{p}} と R m {\displaystyle R_{\mathrm {m} }} の共分散である。よってCAPMが成立しているならば、ポートフォリオ p {\displaystyle p} のシャープ・レシオ S p {\displaystyle S_{p}} について以下の等式が成立する。 S p = E [ R p ] − r f V a r ( R p ) = β p m V a r ( R p ) ( E [ R m ] − r f ) = C o v ( R p , R m ) V a r ( R m ) V a r ( R p ) ( E [ R m ] − r f ) = ρ p m E [ R m ] − r f V a r ( R m ) = ρ p m S m {\displaystyle S_{p}={\frac {E[R_{p}]-r_{\mathrm {f} }}{\sqrt {\mathrm {Var} (R_{p})}}}={\frac {\beta _{p\mathrm {m} }}{\sqrt {\mathrm {Var} (R_{p})}}}{\Big (}E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}={\frac {\mathrm {Cov} (R_{p},R_{\mathrm {m} })}{\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} }){\sqrt {\mathrm {Var} (R_{p})}}}}{\Big (}E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}=\rho _{p\mathrm {m} }{\frac {E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }}{\sqrt {\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} })}}}=\rho _{p\mathrm {m} }S_{\mathrm {m} }} ここで、 β p m {\displaystyle \beta _{p\mathrm {m} }} はポートフォリオ p {\displaystyle p} のベータ(CAPMを参照)、 S m {\displaystyle S_{\mathrm {m} }} は市場ポートフォリオのシャープ・レシオである。相関係数 ρ p m {\displaystyle \rho _{p\mathrm {m} }} は-1から1までの値しか取らないので、市場ポートフォリオのシャープ・レシオ(つまり市場ポートフォリオのリスクプレミアム)が正ならばポートフォリオ p {\displaystyle p} のシャープ・レシオは必ず市場ポートフォリオのシャープ・レシオ以下であることが言える。リスクプレミアムの項で説明されているように、リスクプレミアムは通常、正であるので次の不等式が成り立つ。 S p ≤ S m {\displaystyle S_{p}\leq S_{\mathrm {m} }} よってCAPMの下ではどのようなポートフォリオを考えたとしても、市場ポートフォリオよりシャープ・レシオの観点で効率的なポートフォリオは組成できないことが言える。市場ポートフォリオは時価総額加重平均ポートフォリオなので、S&P500などの時価総額加重平均型株価指数と同一視できる。よってインデックス運用と呼ばれる市場インデックス連動型の運用方針が用いられる理論的背景として、このようなシャープ・レシオによる説明が可能である。
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