カントールの対関数の逆関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/13 10:17 UTC 版)
「対関数」の記事における「カントールの対関数の逆関数」の解説
ここで z を次のように定義する。 z = ⟨ x , y ⟩ = ( x + y ) ( x + y + 1 ) 2 + y {\displaystyle z=\langle x,y\rangle ={\frac {(x+y)(x+y+1)}{2}}+y} このときの x と y を求めたい。そのために中間的な値を定義する。 w = x + y {\displaystyle w=x+y\!} t = w ( w + 1 ) 2 = w 2 + w 2 {\displaystyle t={\frac {w(w+1)}{2}}={\frac {w^{2}+w}{2}}} z = t + y {\displaystyle z=t+y\!} ここで t は w の三角数である。そこで次の二次方程式を解く。 w 2 + w − 2 t = 0 {\displaystyle w^{2}+w-2t=0\!} w を t の関数で表すと、次のようになる。 w = 8 t + 1 − 1 2 {\displaystyle w={\frac {{\sqrt {8t+1}}-1}{2}}} t が非負実数であれば、これは単調増加する連続関数である。ここで t ≤ z = t + y < t + ( w + 1 ) = ( w + 1 ) 2 + ( w + 1 ) 2 {\displaystyle t\leq z=t+y<t+(w+1)={\frac {(w+1)^{2}+(w+1)}{2}}} が成り立つので、次が得られる。 w ≤ 8 z + 1 − 1 2 < w + 1 {\displaystyle w\leq {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}<w+1} 従って w = ⌊ 8 z + 1 − 1 2 ⌋ {\displaystyle w=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor } . 以上から z から x と y を計算すると次のようになる。 w = ⌊ 8 z + 1 − 1 2 ⌋ {\displaystyle w=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {8z+1}}-1}{2}}\right\rfloor } t = w 2 + w 2 {\displaystyle t={\frac {w^{2}+w}{2}}} y = z − t {\displaystyle y=z-t\!} x = w − y {\displaystyle x=w-y\!} 以上のようにカントールの対関数には逆関数が存在し、一対一対応している。
※この「カントールの対関数の逆関数」の解説は、「対関数」の解説の一部です。
「カントールの対関数の逆関数」を含む「対関数」の記事については、「対関数」の概要を参照ください。
- カントールの対関数の逆関数のページへのリンク
