よく用いられるカーネル関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/16 03:39 UTC 版)
「カーネル (統計学)」の記事における「よく用いられるカーネル関数」の解説
いくつかの種類のカーネル関数がよく用いられる。たとえば一様、三角、Epanechnikov, quartic (biweight), tricube, triweight, ガウシアン、quadratic、コサインである。 下の表において、1{…} は指示関数である。 カーネル関数, K(u) ∫ u 2 K ( u ) d u {\displaystyle \textstyle \int u^{2}K(u)du} ∫ K ( u ) 2 d u {\displaystyle \textstyle \int K(u)^{2}du} Epanechnikov カーネルに対する相対効率一様 K ( u ) = 1 2 1 { | u | ≤ 1 } {\displaystyle K(u)={\frac {1}{2}}\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 1.076 三角 K ( u ) = ( 1 − | u | ) 1 { | u | ≤ 1 } {\displaystyle K(u)=(1-|u|)\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} 1.014 Epanechnikov K ( u ) = 3 4 ( 1 − u 2 ) 1 { | u | ≤ 1 } {\displaystyle K(u)={\frac {3}{4}}(1-u^{2})\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}} 1 5 {\displaystyle {\frac {1}{5}}} 3 5 {\displaystyle {\frac {3}{5}}} 1.000 Quartic (biweight) K ( u ) = 15 16 ( 1 − u 2 ) 2 1 { | u | ≤ 1 } {\displaystyle K(u)={\frac {15}{16}}(1-u^{2})^{2}\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}} 1 7 {\displaystyle {\frac {1}{7}}} 5 7 {\displaystyle {\frac {5}{7}}} 1.006 Triweight K ( u ) = 35 32 ( 1 − u 2 ) 3 1 { | u | ≤ 1 } {\displaystyle K(u)={\frac {35}{32}}(1-u^{2})^{3}\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}} 1 9 {\displaystyle {\frac {1}{9}}} 350 429 {\displaystyle {\frac {350}{429}}} 1.013 Tricube K ( u ) = 70 81 ( 1 − | u | 3 ) 3 1 { | u | ≤ 1 } {\displaystyle K(u)={\frac {70}{81}}(1-{\left|u\right|}^{3})^{3}\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}} 35 243 {\displaystyle {\frac {35}{243}}} 175 247 {\displaystyle {\frac {175}{247}}} 1.002 ガウシアン K ( u ) = 1 2 π exp ( − 1 2 u 2 ) {\displaystyle K(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}u^{2}\right)} 1 {\displaystyle 1\,} 1 2 π {\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}} 1.051 コサイン K ( u ) = π 4 cos ( π 2 u ) 1 { | u | ≤ 1 } {\displaystyle K(u)={\frac {\pi }{4}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}u\right)\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}} 1 − 8 π 2 {\displaystyle 1-{\frac {8}{\pi ^{2}}}} π 2 16 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}} 1.0005 ロジスティック K ( u ) = 1 e u + 2 + e − u {\displaystyle K(u)={\frac {1}{e^{u}+2+e^{-u}}}} π 2 3 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}} 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} 1.127 Silverman カーネル K ( u ) = 1 2 exp ( − | u | 2 ) sin ( | u | 2 + π 4 ) {\displaystyle K(u)={\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {|u|}{\sqrt {2}}}\right)\sin \left({\frac {|u|}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{4}}\right)} 0 {\displaystyle 0} 3 2 16 {\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}} 適用できない 効率性は ( ∫ u 2 K ( u ) d u ) 1 / 2 ∫ K ( u ) 2 d u {\displaystyle \left(\int u^{2}K(u)du\right)^{1/2}\int K(u)^{2}du} によって定義される。
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