もう少し自明でない例とは? わかりやすく解説

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もう少し自明でない例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/12/13 01:23 UTC 版)

ヒルベルト空間」の記事における「もう少し自明でない例」の解説

複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) で級数n = 1 ∞ | z n | 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}} が収束するようなもの(自乗総和可能な無限複素数列)全体の成す数列空間ℓ2 で表す。ℓ2 上の内積エルミート積として ⟨ z , w ⟩ = ∑ n = 1z n w ¯ n {\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\bar {w}}_{n}} で定義される。この右辺級数収束することはコーシー・シュヴァルツの不等式からの帰結である。 空間 ℓ2完備性は「ℓ2 の元からなる級数が(ノルムの意味で)絶対収束するならば必ず、その級数ℓ2何らかの元に収束する」ことを示せ言える。このことの証明解析学初歩であり、この空間の元からなる級数複素数(あるいは有限次元ベクトル空間ベクトルからなる級数同程度容易に扱うことができる。

※この「もう少し自明でない例」の解説は、「ヒルベルト空間」の解説の一部です。
「もう少し自明でない例」を含む「ヒルベルト空間」の記事については、「ヒルベルト空間」の概要を参照ください。

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