もう少し自明でない例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:23 UTC 版)
「ヒルベルト空間」の記事における「もう少し自明でない例」の解説
複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) で級数 ∑ n = 1 ∞ | z n | 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}} が収束するようなもの（自乗総和可能な無限複素数列）全体の成す数列空間を ℓ2 で表す。ℓ2 上の内積はエルミート積として ⟨ z , w ⟩ = ∑ n = 1 ∞ z n w ¯ n {\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\bar {w}}_{n}} で定義される。この右辺の級数が収束することはコーシー・シュヴァルツの不等式からの帰結である。 空間 ℓ2 の完備性は「ℓ2 の元からなる級数が（ノルムの意味で）絶対収束するならば必ず、その級数が ℓ2 の何らかの元に収束する」ことを示せば言える。このことの証明は解析学の初歩であり、この空間の元からなる級数は複素数（あるいは有限次元ベクトル空間のベクトル）からなる級数と同程度容易に扱うことができる。
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