どちらとも言えない場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 14:57 UTC 版)
「ダランベールの収束判定法」の記事における「どちらとも言えない場合」の解説
もし、級数が lim n → ∞ | a n + 1 a n | = 1 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1} を満たす場合、ダランベールの判定条件から、収束するか発散するかを推定することは不可能である。 例えば、級数 ∑ n = 1 ∞ 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1} は発散し、 lim n → ∞ | 1 1 | = 1 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1} である。一方で、 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}} は絶対収束するが、 lim n → ∞ | 1 ( n + 1 ) 2 1 n 2 | = 1 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {1}{(n+1)^{2}}}\;}{\dfrac {1}{n^{2}}}}\right|=1} である。最後に、 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}} は条件収束するが、 lim n → ∞ | ( − 1 ) n + 1 n + 1 ( − 1 ) n n | = 1 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {(-1)^{n+1}}{n+1}}\;}{\dfrac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1} である。
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