その他の等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/20 19:02 UTC 版)
整数 n に対して ∫ 0 π 2 sin n x d x = ∫ 0 π 2 cos n x d x = ( n − 1 ) ! ! n ! ! × { 1 if n is odd π 2 if n is even . {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}} 奇階乗の複素変数への延長を用いた場合には、 ∫ 0 π 2 sin n x d x = ∫ 0 π 2 cos n x d x = ( n − 1 ) ! ! n ! ! π 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.} 二重階乗はより複雑な三角多項式の積分の評価にも利用できる。 奇数の二重階乗とガンマ函数は等式 ( 2 n − 1 ) ! ! = 2 n ⋅ Γ ( 1 2 + n ) π = ( − 2 ) n ⋅ π Γ ( 1 2 − n ) {\displaystyle (2n-1)!!=2^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+n)}{\sqrt {\pi }}}=(-2)^{n}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-n)}}} で関係する。 ほかに奇数の二重階乗を含む等式として: ( 2 n − 1 ) ! ! = ∑ k = 1 n − 1 ( n k + 1 ) ( 2 k − 1 ) ! ! ( 2 n − 2 k − 3 ) ! ! , ( 2 n − 1 ) ! ! = ∑ k = 0 n ( 2 n − k − 1 k − 1 ) ( 2 k − 1 ) ( 2 n − k + 1 ) k + 1 ( 2 n − 2 k − 3 ) ! ! , ( 2 n − 1 ) ! ! = ∑ k = 1 n ( n − 1 ) ! ( k − 1 ) ! k ( 2 k − 3 ) ! ! . {\displaystyle {\begin{aligned}(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!,\\(2n-1)!!&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n-k-1}{k-1}}{\frac {(2k-1)(2n-k+1)}{k+1}}(2n-2k-3)!!,\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k(2k-3)!!.\end{aligned}}}
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