集合 記法

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集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/29 06:47 UTC 版)

記法

集合の記法には、おおまかに2通りの方法がある。論理的な概念として「内包と外延」というものがあるが、ほぼそれに相当するもので、その要素をすべて列挙するという方法と、その集合に含まれるのであれば必ず満たされ、含まれないのであれば必ず満たされない条件を明示するという方法である。

「外延」に相当する、すべて列挙する方法では、例えば、1, 3, 5, 7, 9 からなる集合は、

$\{1,3,5,7,9\}$

と表記する。

「内包」に相当する、属するために満たすべき条件を明示する方法では、例えば、10 未満の正の奇数全体の集合を、

{ x | x は 10 未満の正の奇数 }

と表記する。一般に、条件 P(x) があったとき、それをみたす対象だけを全て集めた集合を、

$\{x\mid P(x)\}$

と表記する。ここでは x という変数を用いているが、{ y | P(y)} と書いても { a | P(a)} と書いても構わない。set-builder notation（en:Set-builder notation）やset comprehension、日本語では内包表記などとも言う。前述のようにそれぞれ、論理的な概念の外延と内包に由来するものであり日本語圏では数学分野でも今もそれらの語がよく使われているが、英語圏ではそれぞれの原語であるextensionとintensionはこの分野では今はあまり見なくなっている。

条件 P(x) は「x が X の元であって、さらに条件 Q(x) を満たす」というような形で与えられることが多いが、このとき定まる集合を {x | x ∈ X かつ Q(x)} のように書く代わりに、しばしば簡単に

$\{x\in X\mid Q(x)\}$

などと略記する。集合 {x ∈ X | Q(x)} は X の部分集合となる。また、条件 P(x) が「条件 Q(y) を満たすようなある y を用いて x = f(y) と表すことができる」というような形のときは、集合 { x | P(x)} を

$\{f(y)\mid Q(y)\}$

のように表すこともある。

要素を外延的に書きつくせないような集合、例えば自然数全体の集合を

$\{0,1,2,3,\dots \}$

のように書き表すこともあるが、"..." による省略部分は誤解を生じる余地があるため、このような記法はその省略された内容の意味が明らかである場合に限られる。