テトレーション 拡張

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テトレーション

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/30 07:54 UTC 版)

拡張

テトレーションは、高さが正の整数以外の場合に拡張できる。

底が0

0の0乗が単純には定義できないため、 ⁿ0 は直接定義できないが、極限が

$\lim _{x\to 0+}{}^{n}x={\begin{cases}1&n\in 2\mathbb {Z} \\0&n\in 2\mathbb {Z} +1\end{cases}}$

収束または振動する点

発散する点

複素数の累乗が可能なことから、テトレーションは複素数の底に対しても定義できる。

例えばテトレーション ⁿi は対数関数の主枝を用いて定められる。このときオイラーの公式から次の式が得られる。

$i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}\pi i(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}\pi b}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)$

$e^{-e}\leq x\leq e^{1/e}$

関数 $\left|{\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}\right|$

^xa の一次近似によるグラフ（a = 4, e, 2, 1.5, 0.5）。漸近線はx = -2

一次近似（連続性のもと微分可能性を近似）は次のように与えられる。

${}^{x}a\approx {\begin{cases}1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\\\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\end{cases}}$

^xa の二次近似によるグラフ（a = 4, e, 2, 1.5, 0.5）

（微分可能性についての）二次近似は次のように与えられる。

${}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1+\ln(a)}}x-{\frac {1-\ln(a)}{1+\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}$

複素平面上にテトレーション $f=F(x+iy)$を解析接続したものを描画。 $|f|=1,e^{\pm 1},e^{\pm 2},\ldots$と$\arg(f)=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$を太い曲線で示した。

次の条件を満たす関数 F が一意に定まる事が証明されている 。

• F (z + 1) = exp (F (x))
• F (0) = 1
• z→±i∞ のとき F (z) が対数関数の不動点（およそ 0.318 ± 1.337i ）に近づく
• 実数 z < −2 を除く複素平面全域で正則

この関数 F を右図に示す。また、底が e ではない場合についても、底が$e^{1/e}$よりも大きい場合については同様に証明されている。倍精度浮動小数点数近似はオンラインで公開されている。

一意性

テトレーションを一意に定めるためには正則性の条件が重要となる。いま、関数 F に対し関数 S を次のように構成する。

${\begin{aligned}A(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2\pi nz)\alpha _{n}\\B(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}1-\cos(2\pi nz){\bigr )}\beta _{n}\\S(z)&=F\left(z+A(z)+B(z)\right)\end{aligned}}$

ここで α_n、 β_n は十分速く減衰する実数列であり、少なくとも実軸の近くで A (z)、 B (z) を収束させるとする。

この関数 S は F と同様に最初の二つの条件 S (z + 1) = exp (S (z))、 S (0) = 1 を満たす。また α_n、 β_n が十分速く 0 に近づくとき、S は正の実軸近傍で解析的となる。しかし α_n、 β_n が全て 0 でない場合、S は新たに大量の特異点と不連続線を複素平面上に持つことになる。これは sin (z)、 cos (z) が虚軸に沿って指数関数的に増大するためである。これらの特異点は α_n、 β_n が小さければ小さいほど実軸から離れていくため、 S が正則であるためには全ての α_n、 β_n が 0となる、即ち S = F であればよい。

実解析上のテトレーションは一意的に定まらないので、複素平面への拡張は一意性に必要である。