2次元目標の単発撃破確率
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/26 08:20 UTC 版)
「射爆理論」の記事における「2次元目標の単発撃破確率」の解説
2次元目標の単発撃破確率P は、基本的には1次元で1重積分であった計算が2重積分に変わるだけである。 P = ∬ − ∞ ∞ f ( x 1 , x 1 ) D ( x 1 , x 2 ) d x 1 d x 2 {\displaystyle P=\iint _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{1})D(x_{1},x_{2})dx_{1}dx_{2}} f (x ) ：弾着分布関数 D (x ) ：損傷関数 ただし、目標が2次元であるため、2次元目標の損傷関数は形状が複雑となり、矩形やだ円形のそれぞれの向きが射線方向に正対する場合と斜めになる場合で計算が分かれる。損傷関数の近似は複数あるので以下にそれぞれの場合での2次元目標に対する単発撃破確率P を示す。 クッキー・カッター型損傷関数による単発撃破確率 矩形目標の2辺x1 とx2 が射線方向とそれに直交する方向に平行な場合の損傷関数D (x1 , x2 ) は以下の式で与えられる。 D ( x 1 , x 2 ) = { 1 | x 1 | ≦ a 1 , | x 2 | ≦ a 2 , 0 o t h e r w i s e {\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\begin{cases}1&|x_{1}|\leqq a_{1},\quad |x_{2}|\leqq a_{2},\\0&otherwise\end{cases}}} L = 4 a 1 a 2 {\displaystyle L=4a_{1}a_{2}} ：致命域 単発撃破確率P は、以下の式になる。 P = [ ϕ ( μ 1 + a 1 σ 1 ) − ϕ ( μ 1 − a 1 σ 1 ) ] × [ ϕ ( μ 2 + a 2 σ 2 ) − ϕ ( μ 2 − a 2 σ 2 ) ] {\displaystyle P={\Bigg [}{\boldsymbol {\phi }}({\frac {\mu _{1}+a_{1}}{\sigma _{1}}})-{\boldsymbol {\phi }}({\frac {\mu _{1}-a_{1}}{\sigma _{1}}}){\Bigg ]}\times {\Bigg [}{\boldsymbol {\phi }}({\frac {\mu _{2}+a_{2}}{\sigma _{2}}})-{\boldsymbol {\phi }}({\frac {\mu _{2}-a_{2}}{\sigma _{2}}}){\Bigg ]}} 長い矩形目標の2辺X1 とX2 が、射線方向x1 とそれに直交する方向x2 に対してθだけ傾いている場合は若干複雑になる。弾着中心と目標の損傷関数中心が一致する場合の、射爆の2軸と目標の2軸の関係は以下の式で与えられる。 x 1 = X 1 cos θ + X 2 sin θ , x 2 = X 1 sin θ + X 2 cos θ {\displaystyle x_{1}=X_{1}\cos \theta +X_{2}\sin \theta ,\quad x_{2}=X_{1}\sin \theta +X_{2}\cos \theta } 目標の中心線X2 から左右にa だけ幅を持った帯状の内側への弾着で目標が撃破される時、このように傾いた帯状の単発撃破確率P は、以下の式になる。 P = ∫ − a a ∫ − ∞ ∞ f ( X 1 , X 2 ) d X 1 d X 2 = 2 ϕ ( a σ 1 2 cos 2 θ + σ 2 2 sin 2 θ ) − 1 {\displaystyle P=\int _{-a}^{a}\int _{-\infty }^{\infty }f(X_{1},X_{2})dX_{1}dX_{2}=2{\boldsymbol {\phi }}\left({\frac {a}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}\cos ^{2}\theta +\sigma _{2}^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)-1} 円形目標の場合には、さらに複雑となる。弾着の分布が円形正規分布となるか楕円正規分布となるかという違いや、目標中心と弾着中心とのずれの有無によって計算は4通りに分かれる。いずれの場合でも以下の損傷関数に従うものとする。 D ( x 1 , x 2 ) = { 1 | x 1 | 2 + | x 2 | 2 ≦ a 2 , 0 | x 1 | 2 + | x 2 | 2 > a 2 {\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\begin{cases}1&|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}\leqq a^{2},\\0&|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}>a^{2}\end{cases}}} L = π a 2 {\displaystyle L=\pi a^{2}} ：致命域 弾着点の確率密度関数は次の式で表される。 f ( x 1 , x 2 ) = 1 2 π σ 1 σ 2 exp ( − ( x 1 − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 − ( x 2 − μ 2 ) 2 2 σ 2 2 ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2})={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}\exp \left(-{\frac {(x_{1}-\mu _{1})^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {(x_{2}-\mu _{2})^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)} μ1 , μ2 ：目標中心と弾着中心のずれ σ12 , σ22 ：分散 弾着の分布が円形正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考えると、上の式での目標中心と弾着中心のずれ) と分散σ12 , σ22 はすべて 0 となる。これにより、単発撃破確率P は、以下の式になる。 P = 1 2 π σ 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a exp ( − r 2 2 σ 2 ) r d r d θ = 1 − exp ( − a 2 2 σ 2 ) {\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}\exp(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}})rdrd\theta =1-\exp(-{\frac {a^{2}}{2\sigma ^{2}}})} このP はレーリー分布となる。 弾着の分布が円形正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがμだけある場合を考えると、分散についてはσ12 = σ22 = 0 で良いが、目標中心と弾着中心のずれ (μ, 0) とする。弾着の分布が円形分布なのでずれの方向にx1 軸を合わせることで計算式を単純にできる。単発撃破確率P は、以下の式になる。 P = 1 2 π σ 2 ∬ A exp ( − ( x 1 − μ ) 2 + x 2 2 2 σ 2 ) d x 1 d x 2 A : x 1 2 + x 2 2 ≦ a 2 = 1 2 π σ 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a exp ( − r 2 − 2 μ cos θ + μ 2 2 σ 2 ) r d r d θ = 1 2 π σ 2 exp ( − μ 2 2 σ 2 ) ∫ 0 a r exp ( − r 2 2 σ 2 ) { ∫ 0 2 π exp ( μ r cos θ σ 2 ) d θ } d r {\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {(x_{1}-\mu )^{2}+x_{2}^{2}}{2\sigma ^{2}}})dx_{1}dx_{2}\quad \quad A:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leqq a^{2}\\&={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}\exp(-{\frac {r^{2}-2\mu \cos \theta +\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}})rdrd\theta \\&={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\exp(-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}})\int _{0}^{a}r\exp(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}})\{\int _{0}^{2\pi }\exp({\frac {\mu r\cos \theta }{\sigma ^{2}}})d\theta \}dr\\\end{aligned}}} 上の式の最後に出てくる θ {\displaystyle \theta } の積分には、次の関係を用いる。 exp ( z cos θ ) = I 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 ∞ I n ( z ) cos ( n θ ) {\displaystyle \exp(z\cos \theta )={\mathit {I}}_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }{\mathit {I}}_{n}(z)\cos(n\theta )} 区間 [0, 2π] の間で積分すれば右辺 cos(n θ)= 0 になるので次式が成り立つ。 ∫ 0 2 π exp ( μ r cos θ σ 2 ) d θ = 2 π I 0 ( μ r σ 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\exp({\frac {\mu r\cos \theta }{\sigma ^{2}}})d\theta =2\pi {\mathit {I}}_{0}({\frac {\mu r}{\sigma ^{2}}})} これらの式のa とμ、r をσで割って単発撃破確率P (α, β) を表せば、以下の式になる。 P ( α , β ) = exp ( − β 2 2 ) ∫ 0 a t exp ( − t 2 2 ) I 0 ( β t ) d t , α = a σ , β = μ σ , t = r σ . {\displaystyle P(\alpha ,\beta )=\exp(-{\frac {\beta ^{2}}{2}})\int _{0}^{a}t\exp(-{\frac {t^{2}}{2}}){\mathit {I}}_{0}(\beta t)dt,\quad \alpha ={\frac {a}{\sigma }},\quad \beta ={\frac {\mu }{\sigma }},\quad t={\frac {r}{\sigma }}.} 上式は円形カバレッジ関数（circular coverage function）と呼ばれ、次の近似式がある。 P a ( α , β ) ≈ α 2 2 S 2 [ 1 − α 2 4 3 S 2 ( 1 − β 2 2 S 2 ) ] exp ( − β 2 2 S 2 ) , S 2 = 1 − 1 / 3 4 α 2 + 1. {\displaystyle P_{a}(\alpha ,\beta )\approx {\frac {\alpha ^{2}}{2S^{2}}}{\bigg [}1-{\frac {\alpha ^{2}}{4{\sqrt {3S^{2}}}}}(1-{\frac {\beta ^{2}}{2S^{2}}}){\bigg ]}\exp(-{\frac {\beta ^{2}}{2S^{2}}}),\quad S^{2}={\frac {1-1/{\sqrt {3}}}{4}}\alpha ^{2}+1.} 弾着の分布が楕円正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考える。弾着の分布が楕円形の分布なので、x1 とx2 の2軸を必要とし、分散については σ 1 ≦ σ 2 = σ {\displaystyle \sigma _{1}\leqq \sigma _{2}=\sigma } とする。目標中心と弾着中心 (0, 0) からのずれは (μ1 , μ2) として、ずれのより大きな方向をx1 軸とする。γ = σ2 / σ1 とすれば、単発撃破確率P は、以下の式になる。 P = 1 2 π σ 1 σ 2 ∬ A exp ( − x 1 2 2 σ 1 2 − x 2 2 2 σ 2 2 ) d x 1 d x 2 A : x 1 2 + x 2 2 ≦ a 2 = 1 2 π γ σ 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a exp ( − r 2 ( sin 2 θ + γ 2 cos 2 θ ) 2 γ 2 σ 2 ) r d r d θ = 1 2 π γ σ 2 ∫ 0 a r exp ( − r 2 ( 1 + γ 2 ) 4 γ 2 σ 2 ∫ 0 2 π exp ( r 2 ( 1 − γ 2 ) cos ( 2 θ ) 4 γ 2 σ 2 ) d θ d r {\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {x_{1}^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {x_{2}^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}})dx_{1}dx_{2}\quad \quad A:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leqq a^{2}\\&={\frac {1}{2\pi \gamma \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}\exp(-{\frac {r^{2}(\sin ^{2}\theta +\gamma ^{2}\cos ^{2}\theta )}{2\gamma ^{2}\sigma ^{2}}})rdrd\theta \\&={\frac {1}{2\pi \gamma \sigma ^{2}}}\int _{0}^{a}r\exp(-{\frac {r^{2}(1+\gamma ^{2})}{4\gamma ^{2}\sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\exp({\frac {r^{2}(1-\gamma ^{2})\cos(2\theta )}{4\gamma ^{2}\sigma ^{2}}})d\theta dr\\\end{aligned}}} t = r /σ、η = 2θとすれば、以下のように展開できる。 P = 1 4 π γ ∫ 0 a t exp ( − ( 1 + γ 2 ) t 2 4 γ 2 ∫ 0 4 π exp ( − t 2 ( 1 − γ 2 ) cos η 4 γ 2 ) d η d t = 1 γ ∫ 0 a t exp ( − ( 1 + γ 2 ) t 2 4 γ 2 I 0 ( ( 1 − γ 2 ) t 2 ) 4 γ 2 ) d t ≡ P P ( α , γ ) , α = a σ , γ = σ 2 σ , σ 1 = σ {\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {1}{4\pi \gamma }}\int _{0}^{a}t\exp(-{\frac {(1+\gamma ^{2})t^{2}}{4\gamma ^{2}}}\int _{0}^{4\pi }\exp(-{\frac {t^{2}(1-\gamma ^{2})\cos \eta }{4\gamma ^{2}}})d\eta dt\\&={\frac {1}{\gamma }}\int _{0}^{a}t\exp(-{\frac {(1+\gamma ^{2})t^{2}}{4\gamma ^{2}}}{\mathit {I}}_{0}({\frac {(1-\gamma ^{2})t^{2})}{4\gamma ^{2}}})dt\equiv PP(\alpha ,\gamma ),\quad \quad \alpha ={\frac {a}{\sigma }},\gamma ={\frac {\sigma _{2}}{\sigma }},\sigma _{1}=\sigma \\\end{aligned}}} このPP (α, γ) は楕円カバレッジ関数（elliptic coverage function, generalized circular error function）と呼ばれる。 弾着の分布が楕円正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがある場合は、解析式が複雑で容易な近似式は得られていない。 楕円目標の場合には、さらに複雑となる。弾着の分布が円形正規分布となるか楕円正規分布となるかという違いや、目標中心と弾着中心とのずれの有無によって計算は4通りに分かれる。いずれの場合でも以下の損傷関数に従うものとする。 D ( x 1 , x 2 ) = { 1 , x 1 2 a 1 2 + x 2 2 a 2 2 ≦ 1 , 0 , x 1 2 a 1 2 + x 2 2 a 2 2 > 1 {\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\begin{cases}1,&{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}\leqq 1,\\0,&{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}>1\end{cases}}} L = π a 1 a 2 {\displaystyle L=\pi a_{1}a_{2}} ：致命域 以下では便宜上a1 > a2 とする。 弾着の分布が円形正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考える。 P = 1 2 π σ 2 ∬ A exp ( − x 1 2 + x 2 2 2 σ 2 ) d x 1 d x 2 , A : x 1 2 a 1 2 + x 2 2 a 2 2 ≦ 1. {\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2\sigma ^{2}}})dx_{1}dx_{2},\quad \quad A:{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}\leqq 1.} u = x 1 , v = a 1 x 2 / a 2 , σ u = σ , σ v = σ a 1 / a 2 {\displaystyle u=x_{1},v=a_{1}x_{2}/a_{2},\sigma _{u}=\sigma ,\sigma _{v}=\sigma a_{1}/a_{2}} とすれば、以下のように変換できる。 P = 1 2 π σ 1 σ 2 ∬ A exp ( − u 2 2 σ u 2 − v 2 2 σ v 2 ) d u d v = P P ( a 1 σ , a 1 a 2 ) , A ′ : u 2 + v 2 ≦ a 1 2 . {\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {u^{2}}{2\sigma _{u}^{2}}}-{\frac {v^{2}}{2\sigma _{v}^{2}}})dudv=PP({\frac {a_{1}}{\sigma }},{\frac {a_{1}}{a_{2}}}),\quad \quad A':u^{2}+v^{2}\leqq a_{1}^{2}.} 弾着の分布が楕円正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考える。 P = 1 2 π σ 1 σ 2 ∬ A exp ( − x 1 2 2 σ 1 2 − x 2 2 2 σ 2 2 ) d x 1 d x 2 , A : x 1 2 a 1 2 + x 2 2 a 2 2 ≦ 1. {\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {x_{1}^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {x_{2}^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}})dx_{1}dx_{2},\quad \quad A:{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}\leqq 1.} u = x 1 , v = a 1 x 2 / a 2 , σ u = σ 1 , σ v = σ a 1 / a 2 {\displaystyle u=x_{1},v=a_{1}x_{2}/a_{2},\sigma _{u}=\sigma _{1},\sigma _{v}=\sigma a_{1}/a_{2}} とすれば、以下のように変換できる。 P = 1 2 π σ u σ v ∬ A exp ( − u 2 2 σ u 2 − v 2 2 σ v 2 ) d u d v = P P ( a 1 σ 1 , a 1 σ 2 a 2 σ 1 ) , A ′ : x 1 2 a 1 2 + x 2 2 a 2 2 ≦ 1. {\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma _{u}\sigma _{v}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {u^{2}}{2\sigma _{u}^{2}}}-{\frac {v^{2}}{2\sigma _{v}^{2}}})dudv=PP({\frac {a_{1}}{\sigma _{1}}},{\frac {a_{1}\sigma _{2}}{a_{2}\sigma _{1}}}),\quad \quad A':{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}\leqq 1.} カールトン型損傷関数による単発撃破確率 矩形目標の2辺x1 とx2 が射線方向とそれに直交する方向に平行な場合の損傷関数D (x1 , x2 ) と致命域L は以下の式で与えられる。 D ( x 1 , x 2 ) = exp ( − x 1 2 + x 2 2 2 α 2 ) {\displaystyle D(x_{1},x_{2})=\exp(-{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2\alpha ^{2}}})} L = 2 π α 2 {\displaystyle L=2\pi \alpha ^{2}} 単発撃破確率P は、以下の式になる。 P = α 2 ( α 2 + σ 1 2 ) ( α 2 + σ 2 2 ) exp ( − μ 1 2 2 ( α 2 + σ 1 2 ) − μ 2 2 2 ( α 2 + σ 2 2 ) ) {\displaystyle P={\frac {\alpha ^{2}}{\sqrt {(\alpha ^{2}+\sigma _{1}^{2})(\alpha ^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}\exp {{\bigg (}-{\frac {\mu _{1}^{2}}{2(\alpha ^{2}+\sigma _{1}^{2})}}-{\frac {\mu _{2}^{2}}{2(\alpha ^{2}+\sigma _{2}^{2})}}{\bigg )}}} μ 1 , μ 2 {\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}} ：目標中心と弾着中心のずれ σ 1 2 , σ 2 2 {\displaystyle \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}} ：分散 特に弾着中心のずれがなく、つまり μ 1 = μ 2 = 0 {\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0} の場合には、単発撃破確率P は、以下の式になる。 P = α 2 ( α 2 + σ 1 2 ) ( α 2 + σ 2 2 ) {\displaystyle P={\frac {\alpha ^{2}}{\sqrt {(\alpha ^{2}+\sigma _{1}^{2})(\alpha ^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}} クッキー・カッター型損傷関数よりもカールトン型損傷関数による単発撃破確率の近似関数の方が単純で扱いやすいため、適用が勧められる。 目標の中心線X1 から左右にαだけ幅を持った帯状の内側への弾着で目標が撃破される時、このように傾いた帯状の損傷関数D (x1 , x2 ) は、以下の式になる。 D ( x 1 , x 2 ) = exp ( − X 1 2 2 α 2 ) = exp ( − ( x 1 cos θ − x 2 sin θ ) 2 2 α 2 ) {\displaystyle D(x_{1},x_{2})=\exp \left(-{\frac {X_{1}^{2}}{2\alpha ^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {(x_{1}\cos \theta -x_{2}\sin \theta )^{2}}{2\alpha ^{2}}}\right)} 単発撃破確率P は、以下の式になる。 P = α ( α 2 + σ 1 2 cos 2 θ + σ 2 2 sin 2 θ ) {\displaystyle P={\frac {\alpha }{\sqrt {(\alpha ^{2}+\sigma _{1}^{2}\cos ^{2}\theta +\sigma _{2}^{2}\sin ^{2}\theta )}}}} 正規分布型損傷関数による単発撃破確率 2次元での楕円型正規分布に従う場合の損傷関数D (x1 , x2 ) と単発撃破確率P は、以下の式で与えられる。 D ( x 1 , x 2 ) = L 2 π S 1 S 2 exp ( − x 1 2 2 S 1 2 − x 2 2 2 S 2 2 ) ) {\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\frac {L}{2\pi S_{1}S_{2}}}\exp(-{\frac {x_{1}^{2}}{2S_{1}^{2}}}-{\frac {x_{2}^{2}}{2S_{2}^{2}}}))} P = L 2 π ( S 1 2 + σ 1 2 ) ( S 2 2 + σ 2 2 ) exp ( − μ 1 2 2 ( S 1 2 + σ 1 2 ) − μ 2 2 2 ( S 2 2 + σ 2 2 ) ) {\displaystyle P={\frac {L}{2\pi {\sqrt {(S_{1}^{2}+\sigma _{1}^{2})(S_{2}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}}\exp {{\bigg (}-{\frac {\mu _{1}^{2}}{2(S_{1}^{2}+\sigma _{1}^{2})}}-{\frac {\mu _{2}^{2}}{2(S_{2}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}{\bigg )}}} μ 1 , μ 2 {\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}} ：目標中心と弾着中心のずれ σ 1 2 , σ 2 2 {\displaystyle \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}} ：分散 特に弾着中心のずれがなく、つまり μ 1 = μ 2 = 0 {\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0} の場合には、単発撃破確率P は、以下の式になる。 P = L 2 π ( S 1 2 + σ 1 2 ) ( S 2 2 + σ 2 2 ) {\displaystyle P={\frac {L}{2\pi {\sqrt {(S_{1}^{2}+\sigma _{1}^{2})(S_{2}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}}}
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