反転と双曲幾何

ウィキペディア小見出し辞書

反転と双曲幾何

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/07/20 16:54 UTC 版)

「反転幾何学」の記事における「反転と双曲幾何」の解説

(n − 1)-次元球面 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「/mathoid/local/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+c=0 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「/mathoid/local/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2{\frac {a_{1}}{c}}x_{1}+\cdots +2{\frac {a_{n}}{c}}x_{n}+{\frac {1}{c}}=0 構文解析に失敗 (MathML、ただし動作しない場合はSVGかPNGで代替（最新ブラウザーや補助ツールに推奨）: サーバー「/mathoid/local/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+1=0 は、単位球面と直交し、かつ単位球面の外側に中心を持つ。このような球面とその部分空間としてそれらを半球面に分離する超平面を合わせて考えたものは、双曲幾何学のポアンカレの円板モデルに関する超曲面である。 単位球面に関する反転はそれに直交する球面を不変にするから、反転変換写像は単位円の内側の点を外側へ、外側の点を内側へ写す。従って、このことは一般の直交球面において成り立つのであって、特に単位球面に直交する一つの球面に関する反転は、単位球面を単位球面自身に、かつ単位球面の内部の点を単位球面の内部に写すとともに、直交球面の内側の点を外側へ写し、かつ外側の点を内側へ写すから、この反転変換によりポワンカレ円板モデルの鏡映変換が（単位球面の分離半球の直径を通る鏡映も含めるならば）定まる。こうして得られる鏡映変換の全体は、円板モデルの等距変換群を生成する、つまりこのモデル上の等距変換は等角写像である。従って、このモデル内の二曲線のなす角は双曲空間において二曲線の成す角と等しい。