公理的定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/03 09:34 UTC 版)
「スティーフェル・ホイットニー類」の記事における「公理的定義」の解説
次の公理系は、 基底の mod-2 コホモロジーをパラコンパクト基底を持つ有限ランクの実ベクトルバンドルへ結び付けるスティーフェル・ホイットニー特性類 w の唯一の特徴付けをもたらす。 正規化(Normalization): 実射影空間（英語版）(real projective space) P1(R) 上のトートロジーラインバンドル（英語版）(tautological line bundle)のホイットニー類は、非自明である。すなわち、 w ( γ 1 1 ) = 1 + a ∈ H ∗ ( P 1 ( R ) ; Z 2 ) = Z 2 [ a ] / ( a 2 ) {\displaystyle w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} _{2})=\mathbf {Z} _{2}[a]/(a^{2})} である。 ランク(Rank): w0(E) = 1 ∈ H0(X) と E のランクの i に対し、 w i = 0 ∈ H i ( X ) {\displaystyle w_{i}=0\in H^{i}(X)} である。つまり w ( E ) ∈ H ≤ r a n k E ( X ) {\displaystyle w(E)\in H^{\leq \mathrm {rank} E}(X)} である。 ホイットニー積公式 (Whitney product formula): w ( E ⊕ F ) = w ( E ) ⌣ w ( F ) {\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)} である。つまり、直和のホイットニー類は、和の類のカップ積 (cup product) である。 自然性 (Naturality): 任意の実ベクトルバンドル E → X と写像 f : X ′ → X {\displaystyle f:X'\to X} に対し、w(f*E) = f*w(E) である。ここに f*E は引き戻しバンドル（英語版）(pullback vector bundle)を表す。 これらのクラスの一意性は、たとえば、Husemollerのセクション 17.2 - 17.6 1 や Milnor と Stasheff のセクション 8 に証明されている。存在性にはいくつかの証明があり、様々な種類の構成から導かれ、それらは異なった性格を持っている。
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