例 VI: 対数関数と、無限遠点での留数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/30 22:43 UTC 版)
「複素線積分」の記事における「例 VI: 対数関数と、無限遠点での留数」の解説
次の積分を計算したい。 I = ∫ 0 3 x 3 4 ( 3 − x ) 1 4 5 − x d x . {\displaystyle I=\int _{0}^{3}{\frac {x^{\frac {3}{4}}(3-x)^{\frac {1}{4}}}{5-x}}\,dx.} これには、関数 f ( z ) = z 3 4 ( 3 − z ) 1 4 . {\displaystyle f(z)=z^{\frac {3}{4}}(3-z)^{\frac {1}{4}}.} の精密な分析が必要である。f(z) を、分岐切断が図に赤で示したように [0, 3] となるよう構成する。これをするため、2つの対数関数を、枝がそれぞれ z 3 4 = exp ( 3 4 log ( z ) ) where − π ≤ arg ( z ) < π {\displaystyle z^{\frac {3}{4}}=\exp \left({\frac {3}{4}}\log(z)\right)\quad {\mbox{where}}\quad -\pi \leq \arg(z)<\pi } ( 3 − z ) 1 4 = exp ( 1 4 log ( 3 − z ) ) where 0 ≤ arg ( 3 − z ) < 2 π {\displaystyle (3-z)^{\frac {1}{4}}=\exp \left({\frac {1}{4}}\log(3-z)\right)\quad {\mbox{where}}\quad 0\leq \arg(3-z)<2\pi } となるよう選ぶ。 このとき、z3/4 の分岐切断は (−∞, 0] であり、(3−z)1/4 の分岐切断は (−∞, 3] となる。これらの積、つまり f(z) の分岐切断は [0, 3] である。なぜなら、f(z) は実は (−∞, 0) をまたいで連続になるからである。このことは、z = −r < 0 として (−∞, 0) に向かって上半平面から近づくときの f(z) の値が r 3 4 exp ( 3 π i 4 ) ( 3 + r ) 1 4 exp ( 2 π i 4 ) = r 3 4 ( 3 + r ) 1 4 exp ( 5 π i 4 ) {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {3\pi i}{4}})(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {2\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {5\pi i}{4}})} であり、一方下半平面から近づくときの f(z) の値が r 3 4 exp ( − 3 π i 4 ) ( 3 + r ) 1 4 exp ( 0 π i 4 ) = r 3 4 ( 3 + r ) 1 4 exp ( − 3 π i 4 ) {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}\exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})} となるが、 exp ( − 3 π i 4 ) = exp ( 5 π i 4 ) {\displaystyle \exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})=\exp({\tfrac {5\pi i}{4}})} だから、この両者は (−∞, 0) を越えて連続となることからわかる。図中では、2個の向きのついた黒い円周が、それぞれ z3/4 と (3−z)1/4 を定義している対数関数の偏角とともに示されている。 図中の緑色の積分路を使うことにする。このため線分のすぐ上側と、すぐ下側を通る経路上の積分を考える。これらの経路は極限では（つまり2個の緑色の円周が半径0となるとき）、z = r (0 ≤ r ≤ 3) となる。線分の上側では、f(z) の値は r 3 4 exp ( 0 π i 4 ) ( 3 − r ) 1 4 exp ( 2 π i 4 ) = i r 3 4 ( 3 − r ) 1 4 {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})(3-r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {2\pi i}{4}})=i\,r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}} と求まる。線分の下側では、 r 3 4 exp ( 0 π i 4 ) ( 3 − r ) 1 4 exp ( 0 π i 4 ) = r 3 4 ( 3 − r ) 1 4 {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})(3-r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})=r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}} となる。これらより f ( z ) 5 − z {\displaystyle {\frac {f(z)}{5-z}}} の積分は、線分の上側を通るとき極限では −iI となり、下側を通るとき極限では I となることがわかる。 2個の緑色の円周上の積分が極限では消えることを示せれば、留数定理によって I の値も得られる。緑色の円周の半径を ρ とし、ρ < 1/1000 を満たしつつ ρ → 0 と向かう状況を考える。 ML不等式を左側の円周 CL に適用すると、 | ∫ C L f ( z ) 5 − z d z | ≤ 2 π ρ ρ 3 4 ( 3 + 1 1000 ) 1 4 5 − 1 1000 ∈ O ( ρ 7 4 ) → 0 {\displaystyle \left|\int _{C_{L}}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {\rho ^{\frac {3}{4}}(3+{\frac {1}{1000}})^{\frac {1}{4}}}{5-{\frac {1}{1000}}}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {7}{4}}\right)\to 0} が得られる。同様に、右側の円周 CR に適用すると、 | ∫ C R f ( z ) 5 − z d z | ≤ 2 π ρ ( 3 + 1 1000 ) 3 4 ρ 1 4 2 − 1 1000 ∈ O ( ρ 5 4 ) → 0 {\displaystyle \left|\int _{C_{R}}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {(3+{\frac {1}{1000}})^{\frac {3}{4}}\rho ^{\frac {1}{4}}}{2-{\frac {1}{1000}}}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {5}{4}}\right)\to 0} が得られる。 ここで留数定理より（今考えている積分路は、内側には有限個の孤立特異点を囲めていない事に注意する）、 ( − i + 1 ) I = − 2 π i ( R e s z = 5 f ( z ) 5 − z + R e s z = ∞ f ( z ) 5 − z ) {\displaystyle (-i+1)I=-2\pi i\left(\mathrm {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}+\mathrm {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}\right)} となる。ここで右辺の最初に負号がついているのは、特異点から見ると積分路は時計回りをしているからである。上で定めた対数関数の枝を使うと、明らかに R e s z = 5 f ( z ) 5 − z = − 5 3 4 exp ( log ( − 2 ) 4 ) . {\displaystyle \mathrm {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}=-5^{\frac {3}{4}}\exp \left({\tfrac {\log(-2)}{4}}\right).} この極は図では青い点で示されている。値は単純化されて − 5 3 4 exp ( log ( 2 ) + π i 4 ) = − exp ( π i 4 ) 5 3 4 2 1 4 {\displaystyle -5^{\frac {3}{4}}\exp \left({\tfrac {\log(2)+\pi i}{4}}\right)=-\exp({\tfrac {\pi i}{4}})5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}} となる。 無限遠点での留数を求めるのに、次の公式を使う。 R e s z = ∞ h ( z ) = R e s z = 0 [ − 1 z 2 h ( 1 z ) ] . {\displaystyle \mathrm {Res} _{z=\infty }h(z)=\mathrm {Res} _{z=0}\left[-{\frac {1}{z^{2}}}h\left({\frac {1}{z}}\right)\right].} z を 1/z に置き換えて、 1 5 − 1 z = − z ( 1 + 5 z + 5 2 z 2 + 5 3 z 3 + ⋯ ) {\displaystyle {\frac {1}{5-{\frac {1}{z}}}}=-z\left(1+5z+5^{2}z^{2}+5^{3}z^{3}+\cdots \right)} および ( 1 z 3 ( 3 − 1 z ) ) 1 4 = 1 z ( 3 z − 1 ) 1 4 = 1 z exp ( π i 4 ) ( 1 − 3 z ) 1 4 {\displaystyle \left({\frac {1}{z^{3}}}\left(3-{\frac {1}{z}}\right)\right)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}(3z-1)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}\exp({\tfrac {\pi i}{4}})(1-3z)^{\frac {1}{4}}} を得る。ここで、2番目の対数関数の枝について −1 = eiπ であることを用いた。 更に二項展開から、 1 z exp ( π i 4 ) ( 1 − ( 1 4 1 ) 3 z + ( 1 4 2 ) 3 2 z 2 − ( 1 4 3 ) 3 3 z 3 + ⋯ ) {\displaystyle {\frac {1}{z}}\exp({\tfrac {\pi i}{4}})\left(1-{{\frac {1}{4}} \choose 1}3z+{{\frac {1}{4}} \choose 2}3^{2}z^{2}-{{\frac {1}{4}} \choose 3}3^{3}z^{3}+\cdots \right)} を得る。結論として、留数 R e s z = ∞ f ( z ) 5 − z = exp ( π i 4 ) ( 5 − 3 4 ) = exp ( π i 4 ) 17 4 {\displaystyle \mathrm {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}=\exp({\tfrac {\pi i}{4}})\left(5-{\frac {3}{4}}\right)=\exp({\tfrac {\pi i}{4}}){\frac {17}{4}}} が得られた。 以上より、最終的に I の値は I = 2 π i exp ( π i 4 ) − 1 + i ( 17 4 − 5 3 4 2 1 4 ) = 2 π 2 − 1 2 ( 17 4 − 5 3 4 2 1 4 ) = π 2 2 ( 17 − 5 3 4 2 9 4 ) = π 2 2 ( 17 − 40 3 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}I&=2\pi i{\frac {\exp({\tfrac {\pi i}{4}})}{-1+i}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)=2\pi 2^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)\\&={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {9}{4}}\right)={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-40^{\frac {3}{4}}\right)\end{aligned}}} と求まる。
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