二次体
二次体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 06:01 UTC 版)
d ≠ 1 {\displaystyle d\neq 1} を平方因子を持たない整数とし、K = Q、 L = Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle L=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})} とすると、ガロア群 Gal(L/Q) は {±1} と同一視される。Q 上の L の判別式 Δ は、d ≡ 1 (mod 4) ならば d、そうでないならば 4d となる。従って、アルティン写像はΔ を割らないような素数 p にたいし p ↦ ( Δ p ) {\displaystyle p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)} と定義される。ここに ( Δ p ) {\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)} はクロネッカーの記号（英語版）(Kronecker symbol)である。さらに具体的には、L/Q の導手は、Δ が正ならば (Δ)、負であれば (Δ)∞ であり、分数イデアル群 (n) 上のアルティン写像はクロネッカーの記号 ( Δ n ) {\displaystyle \left({\frac {\Delta }{n}}\right)} により与えられる。このことから、素数 p が L で分解するか否かは、 ( Δ p ) {\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)} が 1 であるか、−1 であるかに従う。
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二次体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/16 00:42 UTC 版)
有理数体 Q（有理数全体（負の数も含む））上で定義される函数 Q ∋ x ↦ x ∈ A {\displaystyle \mathbb {Q} \ni x\mapsto {\sqrt {x}}\in \mathbb {A} } において、その値域は（虚数も含めた）代数的数（の一部）からなる。有理数の平方根が再び有理数となるならば、その有理数は（有理数の範囲での）平方数であるという。有理数内で平方数とならない有理数 d に対して √d は二次の無理数であって、Q に √d を付け加えて得られる体（たい）は二次体と総称される。
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