ハミルトン力学
ハミルトン形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/09 03:48 UTC 版)
ハミルトン形式において、作用汎関数はハミルトン関数により S [ p , q ] = ∫ t 0 t 1 [ p ( t ) q ˙ ( t ) − H ( p , q ) ] d t {\displaystyle S[p,q]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\big [}p(t){\dot {q}}(t)-H(p,q){\big ]}dt} で与えられる。ハミルトン形式における力学変数は、一般化座標 q、及びこれに共役な一般化運動量 p である。これらは併せて正準変数と呼ばれる。正準変数の変分 δq, δp に対して作用の変分は δ S = [ p ( t ) δ q ( t ) ] t 0 t 1 + ∫ t 0 t 1 { δ p ( t ) [ q ˙ ( t ) − ∂ H ∂ p ] − [ p ˙ ( t ) + ∂ H ∂ q ] δ q ( t ) } d t {\displaystyle \delta S={\Big [}p(t)\,\delta q(t){\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\{\delta p(t)\left[{\dot {q}}(t)-{\frac {\partial H}{\partial p}}\right]-\left[{\dot {p}}(t)+{\frac {\partial H}{\partial q}}\right]\delta q(t)\right\}dt} となり、運動方程式として δ S [ p , q ] δ p ( t ) = q ˙ ( t ) − ∂ H ∂ p = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[p,q]}{\delta p(t)}}={\dot {q}}(t)-{\frac {\partial H}{\partial p}}=0} δ S [ p , q ] δ q ( t ) = − p ˙ ( t ) − ∂ H ∂ q = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[p,q]}{\delta q(t)}}=-{\dot {p}}(t)-{\frac {\partial H}{\partial q}}=0} が導かれる。
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ハミルトン形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/20 22:03 UTC 版)
自由粒子のハミルトン関数は、平坦な時空においては H X ( P , γ ) = P μ X ˙ μ ( λ ) − L X = γ 2 [ P μ P μ ( λ ) + m 2 c 2 ] {\displaystyle H_{X}(P,\gamma )=P_{\mu }{\dot {X}}^{\mu }(\lambda )-L_{X}={\frac {\gamma }{2}}\left[P^{\mu }P_{\mu }(\lambda )+m^{2}c^{2}\right]} となり、曲がった時空においては H X ( X , P , γ ) = γ 2 [ g μ ν ( X ) P μ P ν ( λ ) + m 2 c 2 ] {\displaystyle H_{X}(X,P,\gamma )={\frac {\gamma }{2}}\left[g_{\mu \nu }(X)P^{\mu }P^{\nu }(\lambda )+m^{2}c^{2}\right]} となる。 ベクトル場 A と相互作用する粒子のハミルトン関数は H ( X , P , γ ) = γ 2 [ ( P μ − g A μ ) ( P μ − g A μ ) + m 2 c 2 ] {\displaystyle H(X,P,\gamma )={\frac {\gamma }{2}}\left[(P^{\mu }-gA^{\mu })(P_{\mu }-gA_{\mu })+m^{2}c^{2}\right]} となる。
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