シンプレクティック幾何学

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シンプレクティック幾何学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 21:21 UTC 版)

シンプレクティック幾何学（シンプレクティックきかがく、英: symplectic geometry）とは、シンプレクティック多様体上で展開される幾何学をいう。シンプレクティック幾何学は解析力学を起源とするが、現在では大域解析学の一分野でもあり、可積分系・非可換幾何学・代数幾何学などとも深い繋がりを持つ。また、弦理論や超対称性との関わりも盛んに研究がなされている。

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シンプレクティック幾何学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 05:10 UTC 版)

「ミラー対称性 (弦理論)」の記事における「シンプレクティック幾何学」の解説

詳細は「シンプレクティック幾何学」を参照 トーラスの幾何学のもう一つの側面は、トーラスのサイズである。さらに詳しくは、トーラスを単位四方形（英語版）の対辺を同一視することにより得られる曲面としてみることができ、トーラスの面積はこの四辺形上の面積要素 ρ d x d y で特定できる。単位四方形上の面積要素を積分することにより、対応するトーラスの面積 ρ を得る。これらの概念を高次元にも一般化することができ、面積要素はシンプレクティック形式の考え方により一般化される。シンプレクティック形式を持つ空間の研究は、シンプレクティック幾何学と呼ばれる。 ミラー対称性では、位相的弦理論のA-モデルが、時空のシンプレクティック幾何学に依存した理論である。その中では｢時空｣がトーラスである理論を考えると、A-モデルは連続的にパラメータ ρ に依存する。

シンプレクティック幾何学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/16 07:34 UTC 版)

「リウヴィルの定理 (物理学)」の記事における「シンプレクティック幾何学」の解説

シンプレクティック幾何学のことばでは、相空間はシンプレクティック多様体として表される。従って、定理はシンプレクティック多様体上の自然な体積形式はハミルトンフローの下に不変である。シンプレクティック構造は 2-形式として表され、dpi と dqi のウェッジ積の和として表される。体積形式はシンプレクティック形式の最高次数外積であり、まさに上記の相空間の測度の別の表現である。定理のひとつの定式化は、この体積形式のリー微分がすべてのハミルトンベクトル場に沿って 0 であることをいっている。 実際、シンプレクティック構造自身は、最高次数外積のみならず、それ以下の次数についても保存される。