体積形式

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体積形式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:18 UTC 版)

微分可能多様体(differentiable manifold)上の体積形式(volume form)とは、多様体上至る所 0 とはならない最高次数の微分形式のことである。特に、次元が n の多様体 M 上では、体積形式は至る所 0 にはならない直線束 $\Omega ^{n}(M)=\bigwedge ^{n}(T^{*}M)$ の切断(section) である n-形式である。なお、多様体が体積形式を持つことと、向き付け可能であることとは同値である。体積形式に、0 とはならない函数を掛けると再び体積形式となることから、向き付け可能な多様体は無限個の体積形式を持つ。向き付け不可能な多様体上には、代わりに、多様体の密度(density)というより弱い考え方がある。

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体積形式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/18 06:54 UTC 版)

「斜交ベクトル空間」の記事における「体積形式」の解説

ω を n 次元実ベクトル空間 V の形式 ω∈ Λ2(V) だとする。すると、ω は n が偶数のときに限り非退化であり、ωn/2 = ω ∧ … ∧ ω は体積要素である。e1,… ,en を n 次元ベクトル空間 V の標準基底とするとき、V の体積形式とは、これらの積により一意に定まる n 形式 e1* ∧ … ∧ en* である。 前節で定義した標準基底を使うと、 ω n = ( − 1 ) n / 2 x 1 ∗ ∧ … ∧ x n ∗ ∧ y 1 ∗ ∧ … ∧ y n ∗ である。順番を変え、 ω n = x 1 ∗ ∧ y 1 ∗ ∧ … ∧ x n ∗ ∧ y n ∗ . と書くことができる。筆者により、様々に ωn または (−1)n/2ωn を標準体積形式として定義している。場合により、交代積の定義に因子 n! を含むか否かにより、因子 n! をかける場合もある。体積形式は、斜交ベクトル空間 (V, ω) の向きを定義する。