二体問題
ケプラー問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/24 14:40 UTC 版)
古典的なケプラー問題（英語版）における逆二乗則に従う軌道の計算は、ビネ方程式を微分方程式として解けばよい。 d 2 u d θ 2 + u = constant > 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\text{constant}}>0} θ を近点から測ることとすると、一般解は次のように（逆数）極方程式で表わされる。 l u = 1 + ε cos θ {\displaystyle lu=1+\varepsilon \cos \theta } この式は半通径 l、離心率 ε の円錐曲線を表わしている。 シュワルツシルト座標（英語版）用に導出された相対論的方程式は以下のようになる。 d 2 u d θ 2 + u = r s c 2 2 h 2 + 3 r s 2 u 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}} ここで、c は光速、rs はシュワルツシルト半径である。ライスナー・ノルドシュトロム計量用のものは次のようになる。 d 2 u d θ 2 + u = r s c 2 2 h 2 + 3 r s 2 u 2 − G Q 2 4 π ε 0 c 4 ( c 2 h 2 u + 2 u 3 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)} ここで、Q は電荷、ε0 は真空の誘電率である。
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ケプラー問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/03 06:28 UTC 版)
3次元ケプラー問題のハミルトニアンは、球座標 ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} を用いるとき変数分離系となる。 H = 1 2 ( p r 2 + 1 r 2 p θ 2 + 1 r 2 sin 2 θ p ϕ 2 ) − μ r {\displaystyle H={\frac {1}{2}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}p_{\theta }^{2}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}p_{\phi }^{2}\right)-{\frac {\mu }{r}}} 対応するハミルトンの特性関数は次式で与えられる。 S = ∫ ± 2 C + 2 μ r − G 2 r 2 d r + ∫ ± G 2 − G z 2 sin 2 θ d θ + G z ϕ {\displaystyle S=\int \pm {\sqrt {2C+{\frac {2\mu }{r}}-{\frac {G^{2}}{r^{2}}}}}dr+\int \pm {\sqrt {G^{2}-{\frac {G_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}}}d\theta +G_{z}\phi } 系のエネルギーが負であるときには運動は有界であり、作用・角変数 ( J r , J θ , J ϕ , w r , w θ , w ϕ ) {\displaystyle (J_{r},J_{\theta },J_{\phi },w_{r},w_{\theta },w_{\phi })} は次のように求められる。 J r = μ a [ 1 − 1 − e 2 ] , J θ = μ a ( 1 − e 2 ) ( 1 − cos I ) , J ϕ = μ a ( 1 − e 2 ) cos I {\displaystyle J_{r}={\sqrt {\mu a}}\left[1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right],\ \ J_{\theta }={\sqrt {\mu a(1-e^{2})}}\,(1-\cos I),\ \ J_{\phi }={\sqrt {\mu a(1-e^{2})}}\,\cos I} w r = M , w θ = M + ω , w ϕ = M + ω + Ω {\displaystyle w_{r}=M,\ \ w_{\theta }=M+\omega ,\ \ w_{\phi }=M+\omega +\Omega } ここに a {\displaystyle a} は軌道長半径、 e {\displaystyle e} は軌道離心率、 I {\displaystyle I} は軌道傾斜角、 M {\displaystyle M} は平均近点離角、 ω {\displaystyle \omega } は近点引数、 Ω {\displaystyle \Omega } は昇交点黄経である。このときハミルトニアンは H = − μ 2 2 ( J r + J θ + J ϕ ) 2 {\displaystyle H=-{\frac {\mu ^{2}}{2(J_{r}+J_{\theta }+J_{\phi })^{2}}}} と表示される。なお、天体力学において用いられるドローニー変数やポアンカレ変数は、この作用・角変数に対して接触変換を施すことで得られる正準変数である。
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ケプラー問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/06 15:18 UTC 版)
「シンプレクティック数値積分法」の記事における「ケプラー問題」の解説
重力場中の粒子の運動は天体力学や軌道力学、宇宙物理学での重要さからシンプレクティック積分法が適用される典型的な例となっている。例えばケプラー問題 H = 1 2 m p 2 − G M m | q | {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} ^{2}-{\frac {GMm}{\left|\mathbf {q} \right|}}} にシンプレクティック積分法を適用すると、オイラー法やルンゲ＝クッタ法では時間の経過とともに数値誤差が累積しエネルギーの誤差が増大するが、シンプレクティック積分法ではエネルギー誤差の累積は見られない（右図）。
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