ルンゲ＝レンツベクトルとは - わかりやすく解説 Weblio辞書

ルンゲ＝レンツベクトル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 13:25 UTC 版)

物理学において、ルンゲ＝レンツベクトル（英: Runge–Lenz vector）とは、ケプラー問題、すなわち逆二乗則に従う中心力の下の運動における保存量の一つ^[1]^[2]^[3]。古典力学の天体運行のケプラー問題や量子力学の水素原子モデルの問題などに現れる。空間的な回転対称性の下で保存量となる角運動量のように、他の多くの保存量が幾何学的な対称性から導かれるのとは異なり、ルンゲ＝レンツベクトルを導く対称性は力学的性質に由来し、力学的対称性と呼ばれる^[2]^[3]。水素原子の束縛状態においては、量子力学的な角運動量演算子とルンゲ＝レンツベクトル演算子の交換関係は4次特殊直交群 $SO(4)$ に対応するリー代数をなし、固有値問題の代数的な解法を与える。

脚注

注釈

^ より厳密に2体問題から導出するならば、重心運動と相対運動を分離し、質点の質量 $m$ の代わりに換算質量、位置座標 $r$ の代わりに相対座標を用いればよい。
^ 原子核の周りを運動する電子が増えると遮蔽効果が顕著となる。原子番号 $Z$ を有効核電荷 $Z eff = Z - σ$ に置き換えればよい（遮蔽定数 $σ$ ）。
^ 特に断りのない限り、ベクトル $a$ の大きさは $a$ と表記する。
^ ここでは Goldstein, Safko & Poole Jr. (2001) の定義に従っているが、Schiff (1968) や Greiner & Müller (1994) など他の文献では $A$ を $m$ で割ったベクトルをルンゲ＝レンツベクトルと定義している。
^ すべての束縛軌道が閉軌道となるのは、距離に反比例する中心力ポテンシャルと距離の二乗に比例する等方的な調和振動ポテンシャルのみであり、ベルトランの定理として知られている。
^ ここでの独立とは、ハミルトン力学系のポアソン括弧が包合系をなすことを意味する。このとき、リウヴィルの意味で可積分であるといわれる。
^ たとえば $(ˆ p \times ˆ L) 1 - (- ˆ L \times ˆ p) 1$ $= (ˆ p 2 ˆ L 3 - ˆ p 3 ˆ L 2) + (ˆ L 2 ˆ p 3 - ˆ L 3 ˆ p 2)$ $= [ˆ p 2, ˆ L 3] - [ˆ p 3, ˆ L 2]$ $= [ˆ p 2, (ˆ r 1 ˆ p 2 - ˆ r 2 ˆ p 1)] - [ˆ p 3, (ˆ r 3 ˆ p 1 - ˆ r 1 ˆ p 3)]$ $= [ˆ p 2, - ˆ r 2] ˆ p 1 - [ˆ p 3, ˆ r 3] ˆ p 1$ $= 2 iħ ˆ p 1 \neq 0$
^ $(ˆ p \times ˆ L) † = -(ˆ L †) \times (ˆ p †) = - ˆ L \times ˆ p \neq ˆ p \times ˆ L$