随伴行列 記法と名称

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随伴行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/13 01:18 UTC 版)

記法と名称

式で書けば、行列 A = (a_ij) に対してその随伴は

$A^{*}=({\overline {a}}_{ji})$

で与えられる。ここで a_ij は A の (i,j)-成分で、1 ≤ i ≤ n および 1 ≤ j ≤ m である。また上付きのバーはスカラーに対する複素共軛（すなわち a, b を実数として a + ib = a − ib）である。あるいはこれを

$A^{*}={\overline {A}}{}^{\top }(=({\overline {A}})^{\top }={\overline {A^{\top }}})$

と書くこともできる。ただし、A^T は A の転置を、A は A の各成分の複素共軛をとったもの（複素共軛行列）の意味とする。ここで、A^T は少々曖昧な表現だが、転置をとってから複素共軛をとること（転置共軛; transjugate）と、共軛複素をとってから転置をとること（共軛転置; conjugate transpose）とは、操作としては異なるが結果として同じことであるので、混乱のもとにはならない。また A^T と書く代わりに ^tA と書く流儀もある。

ほかにも A の随伴を表す記号として

• A^∗, A^H: 線型代数学で広く用いられる
• A^†: 量子力学でよく使う。ダガー † を用いるのでダガー行列 (be-daggered matrix)、あるいはダガーを付けると言う。
• A⁺ を使うこともあるが、ムーア・ペンローズ擬逆行列を表す場合の方が普通。

文献によっては、単に成分の複素共軛をとる操作を A^∗ で表す場合もあり、その場合、随伴は別途転置をとる形、すなわち A^∗T, A^T∗, ^tA^∗ などで表す。