調和平均 定義

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調和平均

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/03/31 15:13 UTC 版)

定義

正の実数 x₁, x₂, …, x_n について、調和平均 H は

$H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n\prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}{x_{i}}}}}$

と定義される。これは逆数の算術平均の逆数であり、

${\frac {n}{H}}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\displaystyle {\frac {1}{x_{i}}}={\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}$

と書ける。

重み付き調和平均

重みの集合 w₁, w₂, …, w_n が伴ったデータ集合 x₁, x₂, …, x_n について、重み付き調和平均 (weighted harmonic mean) を考えることができ、次で定義される：

${\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}$

重み付き調和平均で重みがすべて 1 の特別な場合が、上で定義した（通常用いられる）調和平均である。重みがすべて等しい任意の集合に対する重み付き調和平均は、調和平均に等しい。