平均への回帰 数学的説明

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平均への回帰

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/17 04:09 UTC 版)

数学的説明

$X$と$Y$をいずれも標準正規分布（平均は$0$、分散は$1$）に従うランダム変数とし、これらの相関係数を$r$とする。$\left|r\right|\leq 1$ である。正規分布の性質から、$X$の値が決まっている場合の$Y$の期待値は$X$に比例する、すなわち $E[Y|X]=rX$ である。ここで $\left|r\right|<1$ であるから、$Y$の期待値は$X$の観察値よりも$0$に近い。一般の確率分布についても同様の結果が得られる。

これは、2変数の相関が小さくなる（$\left|r\right|$が小さくなる）ほど、平均への回帰は顕著になる、ということを示している。つまり現在、相関を分析する方法として回帰分析、線形回帰などという言葉が用いられるが、元来の意味での「回帰」は、むしろ「相関が低い」ことを表している。