多重解像度解析 2次元

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多重解像度解析

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/16 06:10 UTC 版)

2次元

2次元の場合は、まず、関数 $f_{j}(x,y)$ をスケーリング関数 $\phi$ で基底展開する。

$f_{j}(x,y)=\sum _{k_{1}}\sum _{k_{2}}c_{k_{1},k_{2}}^{(j)}2^{j}\phi (2^{j}x-k_{1})\phi (2^{j}y-k_{2})=\sum _{k_{1}}\sum _{k_{2}}c_{k_{1},k_{2}}^{(j)}\phi _{j,k_{1}}(x)\phi _{j,k2}(y)$

$\phi _{j,k_{1}}(x)\phi _{j,k_{2}}(y)$ に対して、

$\phi _{j,k_{1}}(x)$ は $\phi _{j-1,k_{1}}(x)$ と $\psi _{j-1,k_{1}}(x)$ に分解し、

$\phi _{j,k_{2}}(y)$ は $\phi _{j-1,k_{2}}(y)$ と $\psi _{j-1,k_{2}}(y)$ に分解し、

合わせて、

$\{\phi _{j-1,k_{1}}(x)\phi _{j-1,k_{2}}(y),\ \phi _{j-1,k_{1}}(x)\psi _{j-1,k_{2}}(y),\ \psi _{j-1,k_{1}}(x)\phi _{j-1,k_{2}}(y),\ \psi _{j-1,k_{1}}(x)\psi _{j-1,k_{2}}(y)\}$

の4つに分解する。そして、$\phi _{j-1,k_{1}}(x)\phi _{j-1,k_{2}}(y)$ を同じように再帰的に分解していく。

結果として、m 回繰り返すと、下記の関数集合が基底関数となる。

$\{\phi _{j-m,k_{1}}(x)\phi _{j-m,k_{2}}(y)\mid k_{1}\in \mathbf {Z} ,k_{2}\in \mathbf {Z} \}\ \cup \ \{\phi _{j_{1},k_{1}}(x)\psi _{j_{1},k_{2}}(y),\ \psi _{j_{1},k_{1}}(x)\phi _{j_{1},k_{2}}(y),\ \psi _{j_{1},k_{1}}(x)\psi _{j_{1},k_{2}}(y)\mid k_{1}\in \mathbf {Z} ,k_{2}\in \mathbf {Z} ,j-1\leq j_{1}\leq j-m\}$

3次元以上も同じ。