多重解像度解析 多重解像度解析の概要

ウィキペディア

多重解像度解析

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/16 06:10 UTC 版)

本来は異なる物だが、Mathematica や MATLAB をはじめとして、多くのソフトウェアでは多重解像度解析の事を離散ウェーブレット変換と呼んでいる。離散ウェーブレット変換の本来の定義は、離散ウェーブレット変換の項目を参照。

概要

関数 $f_{j}(x)$ をスケーリング関数 $\phi$ で展開した上で、

$f_{j}(x)=\sum _{k}c_{k}^{(j)}2^{j/2}\phi (2^{j}x-k)=\sum _{k}c_{k}^{(j)}\phi _{j,k}(x)$

下記のウェーブレット関数 $\psi$ への展開を用いて、

$g_{j}(x)=\sum _{k}d_{k}^{(j)}2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)=\sum _{k}d_{k}^{(j)}\psi _{j,k}(x)$

関数 $f_{j}(x)$ を異なる解像度（レベル）のウェーブレット関数に展開していく手法を多重解像度解析という。

$f_{j}(x)=g_{j-1}(x)+g_{j-2}(x)+\cdots +g_{j-m}(x)+f_{j-m}(x)$

下記関数集合が基底関数として使われる。

$\{\phi _{j-m,k}(t),\psi _{j-m,k}(t),\cdots ,\psi _{j-1,k}(t)\mid k\in \mathbf {Z} \}$

スケーリング関数とウェーブレット関数の間にはトゥースケール関係が成立する事が必要である。

トゥースケール関係

以下の関係が成立する場合、トゥースケール関係と呼ぶ。

$\phi (x)=\sum _{k\in \mathbf {Z} }p_{k}\phi (2x-k)$

$\psi (x)=\sum _{k\in \mathbf {Z} }q_{k}\phi (2x-k)$

$p_{k},q_{k}$ の値はウェーブレット関数ごとに異なる。例えばハールウェーブレットの場合は、$p_{0}=p_{1}=q_{0}=1,\ q_{1}=-1$ 。

トゥースケール関係が成立していると、下記の式が成立する。

$\phi (2x-l)={\frac {1}{2}}\sum _{k\in \mathbf {Z} }(g_{2k-l}\phi (x-k)+h_{2k-l}\psi (x-k)),\quad l\in \mathbf {Z}$

$\{g_{k}\},\{h_{k}\}$ を分解数列と呼ぶ。例えば、直交ウェーブレットの場合、$g_{k}={\overline {p}}_{-k},\ h_{k}={\overline {q}}_{-k}$ 。

分解数列が分かると、$f_{j}(x)=g_{j-1}(x)+f_{j-1}(x)$ という変形が可能になり、これを再帰的に繰り返すと多重解像度解析になる。