トゥースケール関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/16 06:10 UTC 版)
「多重解像度解析」の記事における「トゥースケール関係」の解説
以下の関係が成立する場合、トゥースケール関係と呼ぶ。 ϕ ( x ) = ∑ k ∈ Z p k ϕ ( 2 x − k ) {\displaystyle \phi (x)=\sum _{k\in \mathbf {Z} }p_{k}\phi (2x-k)} ψ ( x ) = ∑ k ∈ Z q k ϕ ( 2 x − k ) {\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbf {Z} }q_{k}\phi (2x-k)} p k , q k {\displaystyle p_{k},q_{k}} の値はウェーブレット関数ごとに異なる。例えばハールウェーブレットの場合は、 p 0 = p 1 = q 0 = 1 , q 1 = − 1 {\displaystyle p_{0}=p_{1}=q_{0}=1,\ q_{1}=-1} 。 トゥースケール関係が成立していると、下記の式が成立する。 ϕ ( 2 x − l ) = 1 2 ∑ k ∈ Z ( g 2 k − l ϕ ( x − k ) + h 2 k − l ψ ( x − k ) ) , l ∈ Z {\displaystyle \phi (2x-l)={\frac {1}{2}}\sum _{k\in \mathbf {Z} }(g_{2k-l}\phi (x-k)+h_{2k-l}\psi (x-k)),\quad l\in \mathbf {Z} } { g k } , { h k } {\displaystyle \{g_{k}\},\{h_{k}\}} を分解数列と呼ぶ。例えば、直交ウェーブレットの場合、 g k = p ¯ − k , h k = q ¯ − k {\displaystyle g_{k}={\overline {p}}_{-k},\ h_{k}={\overline {q}}_{-k}} 。 分解数列が分かると、 f j ( x ) = g j − 1 ( x ) + f j − 1 ( x ) {\displaystyle f_{j}(x)=g_{j-1}(x)+f_{j-1}(x)} という変形が可能になり、これを再帰的に繰り返すと多重解像度解析になる。
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