多体波動関数

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 05:32 UTC 版)

1粒子波動関数からの構成

相互作用のない同種のN粒子系を考える。i 番目の粒子のシュレーディンガー方程式は次のように書ける。

{\hat {H}}_{i}\psi _{\alpha _{i}}({\boldsymbol {r}}_{i})=\epsilon _{\alpha _{i}}\psi _{\alpha _{i}}({\boldsymbol {r}}_{i})

ここでそれぞれの固有状態・固有エネルギーを $\alpha$ でラベル付けした。1粒子波動関数 $\psi _{\alpha }({\boldsymbol {r}}_{i})$ の完全系から、上述のように対称化・反対称化されたN粒子波動関数を構成することを考える。例えば、次のようなものを考えてみる。

\Psi ({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N})=\psi _{\alpha _{1}}({\boldsymbol {r}}_{1})\psi _{\alpha _{2}}({\boldsymbol {r}}_{2})\dots \psi _{\alpha _{N}}({\boldsymbol {r}}_{N})

この波動関数 $\Psi$ は確かにN粒子系の全ハミルトニアン $\sum _{i}{\hat {H}}_{i}$ の固有関数になってはいるが、対称化・反対称化されていないために上述の同種なN粒子波動関数としての資格を有していない。よってこの波動関数に対称性・反対称性を持たせる必要がある。

ボース粒子

ボース粒子の場合、次のような対称化演算子 ${\mathcal {S}}$ によって多体波動関数は対称化される。

\Psi _{B}({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N})={\mathcal {N}}{\mathcal {S}}\Psi ({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{1}}({\boldsymbol {r}}_{\pi (1)})\psi _{\alpha _{2}}({\boldsymbol {r}}_{\pi (2)})\dots \psi _{\alpha _{N}}({\boldsymbol {r}}_{\pi (N)})

ここで ${\mathcal {N}}$ は規格化定数であり、和 $\sum _{\pi \in S_{N}}$ はN!個の置換 $\pi$ 全てについての和を表す。これは $\psi _{\alpha _{j}}({\boldsymbol {r}}_{i})$ をi 行j 列行列要素にもつN×N行列 $U$ のパーマネント (数学) $\Psi _{B}={\mathcal {N}}\operatorname {perm} U$ である。