ピカール＝リンデレーフの定理 その他の存在定理

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ピカール＝リンデレーフの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/09/30 03:16 UTC 版)

その他の存在定理

ピカール＝リンデレーフの定理は、解が存在することと、それが一意であることを示す。ペアノの存在定理は存在のみを示し、一意性は示さないが、これは  f  がリプシッツ連続ではなく、 y において連続であることのみを仮定している。例えば、方程式の右辺が dy/dt = y^1/3 を初期条件 y(0) = 0 として計算すると、連続ではあるがリプシッツ連続ではない。実際、この方程式は一意ではなく、次の3つの解を持っている。

$y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}$

さらに一般的なものとしてはカラテオドリの存在定理があり、これは  f  に関するより弱い条件の下で（より一般的な意味での）存在を証明するものである。これらの条件は十分条件でしかないが、岡村の定理のように、初期値問題の解が一意であるための必要十分条件も存在する。