ピカール反復の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/11 06:07 UTC 版)
「ピカール＝リンデレーフの定理」の記事における「ピカール反復の例」の解説
解として y ( t ) = tan ( t ) {\displaystyle y(t)=\tan(t)} を持つ初期値問題 y ′ ( t ) = 1 + y ( t ) 2 , y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y'(t)=1+y(t)^{2},\qquad y(0)=0} に関して実際にピカール反復を計算してみる。 φ n ( t ) → y ( t ) {\displaystyle \varphi _{n}(t)\to y(t)} となるように φ 0 ( t ) = 0 {\displaystyle \varphi _{0}(t)=0} から始めて、 φ k + 1 ( t ) = ∫ 0 t ( 1 + ( φ k ( s ) ) 2 ) d s {\displaystyle \varphi _{k+1}(t)=\int _{0}^{t}(1+(\varphi _{k}(s))^{2})\,ds} と反復すると、次のようになる。 φ 1 ( t ) = ∫ 0 t ( 1 + 0 2 ) d s = t {\displaystyle \varphi _{1}(t)=\int _{0}^{t}(1+0^{2})\,ds=t} φ 2 ( t ) = ∫ 0 t ( 1 + s 2 ) d s = t + t 3 3 {\displaystyle \varphi _{2}(t)=\int _{0}^{t}(1+s^{2})\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}} φ 3 ( t ) = ∫ 0 t ( 1 + ( s + s 3 3 ) 2 ) d s = t + t 3 3 + 2 t 5 15 + t 7 63 {\displaystyle \varphi _{3}(t)=\int _{0}^{t}\left(1+\left(s+{\frac {s^{3}}{3}}\right)^{2}\right)\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {2t^{5}}{15}}+{\frac {t^{7}}{63}}} 明らかに、これは既知の解 y ( t ) = tan ( t ) {\displaystyle y(t)=\tan(t)} のテイラー級数展開を計算している。 tan {\displaystyle \tan } は ± π 2 {\displaystyle \pm {\tfrac {\pi }{2}}} に極を持つので、これは R 全体ではなく、 | t | < π 2 {\displaystyle |t|<{\tfrac {\pi }{2}}} の範囲でのみ局所解に収束する。
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