エタール・コホモロジー いくつかの計算例

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エタール・コホモロジー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 01:24 UTC 版)

いくつかの計算例

Hⁱ(X, G_m)

$H^{0}(X,G_{m})=k^{*}$

$H^{1}(X,G_{m})=Pic(X)$

ここでPic(X)はピカール群。

$H^{i>1}(X,G_{m})=0$

Hⁱ(X, μ_n)

μ_nを1のn乗根の層、nは体kの標数と素とする。エタール層におけるクンマーの完全系列

$1\rightarrow \mu _{n}\rightarrow G_{m}{\xrightarrow {n}}G_{m}\rightarrow 1$

より長完全系列

$0\rightarrow H^{0}(X,\mu _{n})\rightarrow H^{0}(X,G_{m})\rightarrow H^{0}(X,G_{m})\rightarrow$

$\rightarrow H^{1}(X,\mu _{n})\rightarrow H^{1}(X,G_{m})\rightarrow H^{1}(X,G_{m})\rightarrow H^{2}(X,\mu _{n})\rightarrow H^{2}(X,G_{m})$

を得るが、ここに上記の結果H⁰(X, G_m)=k^*、H¹(X, G_m)=Pic(X)およびi>1に対してHⁱ(X, G_m)=0を代入することによって

$H^{0}(X,\mu _{n})=\mu _{n}(k)$

$1\rightarrow H^{1}(X,\mu _{n})\rightarrow Pic(X){\xrightarrow {\times n}}Pic(X)\rightarrow H^{2}(X,\mu _{n})\rightarrow 1$

となる。下式からH¹(X, μ_n)=Pic(X)のn等分点の成す群、H²(X, μ_n)=Z/nZおよびその他は0とわかる。