中立元

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単位元

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/10/02 08:47 UTC 版)

単位元 （たんいげん、（英: identity element）は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。 中立元 （ちゅうりつげん、（英: neutral element）とも。

数学とくに抽象代数学における概念である。単位元を有するマグマ、半群、環などはそれぞれ単位的マグマ、単位的半群（モノイド）、単位的環などと呼ばれる。

定義

二項演算 ∗ とその定義域 M について、

• M の任意の元 y について e ∗ y = y を満たす M の元 e が存在するとき、e を ∗ に関する左単位元という。

${\\displaystyle \\exists e\\in M,\\forall y\\in M,e*y=y}$

マグマ・単位的マグマ・群

単位的マグマ （たんいてきマグマ、（英: unital magma）は単位元を有するマグマである。

単位元の定義には二項演算とその台集合を要する。二項演算とその台集合の組はマグマの定義そのものであり、単位的マグマは単位元を見出だせる最小の構造である。

唯一の単位元

単位的マグマは単位元をひとつだけ有する。

定義より単位的マグマは1つ以上の単位元を有するが、単位元は高々一つしか存在しないため、単位的マグマには単位元がただひとつだけ存在する。

参考文献

• 田村孝行『半群論』共立出版〈共立講座 現代の数学〉、1972年。 
• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3110152487, p. 14-15

関連項目

• 吸収元
• 逆元
• 加法逆元
• 単位的
• モノイド（単位的半群）

外部リンク

• identity element - PlanetMath.（英語）
• left identity and right identity - PlanetMath.（英語）
• Weisstein, Eric W. “Identity element”. mathworld.wolfram.com (英語).