maximum and minimum

ウィキペディア

極値

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/06 14:00 UTC 版)

数学の実解析において、実数値関数の極値（きょくち、英: extremum）とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。

定義

n 次元ユークリッド空間 (Rⁿ, d) の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとる。 関数 f を定義域 U に属する点 p のある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最小値であるとき、値 f(p) を関数 f の極小値（local minimum）といい、点 p を関数 f の極小点（local minimum point）という。この条件は論理式を用いると

$\exists \varepsilon >0[\forall q\in U[d(p,q)<\varepsilon \implies f(p)\leq f(q)]]$

原点は関数 x³ の停留点ではあるが、極値点ではない。

n 次元ユークリッド空間 Rⁿ の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとり、これが微分可能であるとする。

定義域 U に属する点 p における関数 f の勾配

$\nabla f(p)={\bigg [}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p),\dotsc ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p){\bigg ]}$

原点は関数 x² + y², x², x² − y² すべての停留点である。関数 x² + y² の原点におけるヘッセ行列は正の定符号であり、原点で関数 x² + y² は狭義の極小値をとる。また関数 x² − y² の原点におけるヘッセ行列は不定符号であり、原点は関数 x² − y² の鞍点である。一方で関数 x² の原点におけるヘッセ行列は特異行列であり、原点で退化している。

n 次元ユークリッド空間 Rⁿ の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとり、これが2回連続微分可能であるとする。

関数 f の停留点 p におけるヘッセ行列

$\nabla ^{2}f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}(p)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(p)\end{bmatrix}}$

が正の定符号（∇² f(p) > 0）であるならば関数 f は点 p において狭義の極小値をとる。またヘッセ行列 ∇² f(p) が負の定符号（∇² f(p) < 0）であるならば関数 f は点 p において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数 f は点 p において極値をとらない（このとき点 p は関数 f の鞍点と呼ばれる）。

この方法により、ヘッセ行列 ∇² f(p) が特異行列で停留点 p が退化している場合を除けば、極値判定ができる。

関連項目

• ラグランジュの未定乗数法

参考文献

• ユルゲン・ヨスト『ポストモダン解析学』シュプリンガー、2000年。 ISBN 978-4-431-70871-1。 

書評 doi:10.11429/sugaku1947.54.314

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Extremum". MathWorld (英語).
• extremum - PlanetMath.（英語）
• Ivanov, A.B. (2001), "Extremum", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
• extremum in nLab