large deviation theoryとは？わかりやすく解説

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大偏差理論

読み方：だいへんさりろん
【英】：large deviation theory

次の性質を満たす可測空間 $(\mathcal{X}, \mathcal{B}) \,$ 上の確率測度の列 $\{\mu_n\} \,$ に関する理論で, 稀な確率事象の漸近解析に使われる. 性質とは, 任意の $\Gamma \in \mathcal{B} \,$ に対して

$\begin{array}{lll} \displaystyle \limsup_{n\rightarrow \infty} v(n)^{-1}\log \mu_n (\Gamma )&\leq& -\inf_{x\in \bar{\Gamma}} I(x),\\ \liminf_{n\rightarrow \infty} v(n)^{-1}\log \mu_n (\Gamma )&\geq& -\inf_{x\in \Gamma^{o}} I(x) \end{array} \,$

である. ここで, $\{v(n)\} \,$ は無限大に発散する増加数列, $\bar{\Gamma} \,$ は $\Gamma \,$ の閉包, $\Gamma^{o} \,$ は $\Gamma \,$ の開核である. $I(x) \,$ はレート関数(rate function)と呼ばれる.

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