(idempotent matrix から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/16 18:34 UTC 版)
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線型代数学 において、冪等行列 （べきとうぎょうれつ、英 : idempotent matrix ）とは、自分自身との積が自分自身に一致する行列 のことである[1] [2]
A
{\displaystyle A}
A
2
=
A
{\displaystyle A^{2}=A}
A
2
{\displaystyle A^{2}}
A
{\displaystyle A}
正方行列 でなければならない。このように冪等行列とは行列環 の冪等元 のことである。
例
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
[
1
0
0
1
]
[
3
−
6
1
−
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}3&-6\\1&-2\end{bmatrix}}}
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
[
1
0
0
0
0
0
0
0
1
]
[
2
−
2
−
4
−
1
3
4
1
−
2
−
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}}
実2次正方行列の場合 行列
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
a
=
a
2
+
b
c
{\displaystyle a=a^{2}+bc}
b
=
a
b
+
b
d
{\displaystyle b=ab+bd}
b
(
1
−
a
−
d
)
=
0
{\displaystyle b(1-a-d)=0}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
d
=
1
−
a
{\displaystyle d=1-a}
c
=
c
a
+
c
d
{\displaystyle c=ca+cd}
c
(
1
−
a
−
d
)
=
0
{\displaystyle c(1-a-d)=0}
c
=
0
{\displaystyle c=0}
d
=
1
−
a
{\displaystyle d=1-a}
d
=
b
c
+
d
2
{\displaystyle d=bc+d^{2}}
よって、実2次正方行列が冪等であるならば、行列が対角行列 であるか、または行列の跡 が 1 に等しい。対角行列であるとき、a および d はそれぞれ 1 または 0 のいずれかでなければならないことに注意する。
b
=
c
{\displaystyle b=c}
(
a
b
b
1
−
a
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}
a
2
+
b
2
=
a
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=a}
a が二次方程式
a
2
−
a
+
b
2
=
0
,
(
a
−
1
2
)
2
+
b
2
=
1
4
{\displaystyle a^{2}-a+b^{2}=0,\quad \left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}}
を満たすならば冪等である。この方程式は中心 (1 / 2 、半径 1 / 2 円 を表す。角度 θ を用いて書けば、行列
A
=
1
2
(
1
−
cos
θ
sin
θ
sin
θ
1
+
cos
θ
)
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}}
は冪等である。
b
=
c
{\displaystyle b=c}
a
2
+
b
c
=
a
{\displaystyle a^{2}+bc=a}
(
a
b
c
1
−
a
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}}
は冪等である。
性質 正則性 唯一の正則 な冪等行列は単位行列 である。つまり、単位行列でない正方行列が冪等であるならば、その列ベクトル（または行ベクトル）のうち線型独立であるものの本数は行列の列数よりも小さい。
これは次のようにして分かる。
A
2
=
A
{\displaystyle A^{2}=A}
A が正則ならば、
A
−
1
{\displaystyle A^{-1}}
A
=
I
A
=
A
−
1
A
2
=
A
−
1
A
=
I
{\displaystyle A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I}
単位行列から冪等行列を引いた行列もやはり冪等である。なぜなら：
(
I
−
A
)
(
I
−
A
)
=
I
−
A
−
A
+
A
2
=
I
−
A
−
A
+
A
=
I
−
A
{\displaystyle (I-A)(I-A)=I-A-A+A^{2}=I-A-A+A=I-A}
行列 A が冪等であるための必要十分条件は、任意の正整数 n に対して
A
n
=
A
{\displaystyle A^{n}=A}
（証明）十分性は、
n
=
2
{\displaystyle n=2}
数学的帰納法 によって示せる。
A
1
=
A
{\displaystyle A^{1}=A}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
A
k
−
1
=
A
{\displaystyle A^{k-1}=A}
A
k
=
A
k
−
1
A
=
A
A
=
A
{\displaystyle A^{k}=A^{k-1}A=AA=A}
n
=
k
{\displaystyle n=k}
固有値 冪等行列は常に対角化 可能で、その固有値 は 0 または 1 である[3]
跡 冪等行列の跡（対角成分の和）は行列の階数 に等しい。これより、成分の分かっている冪等行列の階数は容易に計算できるし、また逆に、成分が明示的でないような冪等行列の跡が容易に計算できる場合がある（このことは特に統計学 で有用であり、例えば標本分散 から母分散 （誤差分散）を（線形）推定するときの計算に現れる）。
応用 冪等行列は回帰分析 や計量経済学 でしばしば現れる。例えば最小二乗法 では、残差 e i β を求めることが問題となる。これを行列で書けば：
Minimize
(
y
−
X
β
)
T
(
y
−
X
β
)
{\displaystyle (y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )}
となる。
ここで
y
{\displaystyle y}
従属変数 の観測値を並べたベクトル、
X
{\displaystyle X}
独立変数 の観測値を並べたものとなっている行列である。このとき係数ベクトルの推定量は
β
^
=
(
X
T
X
)
−
1
X
T
y
{\displaystyle {\hat {\beta }}=\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y}
となる。ここで上付きの T は行列の転置 を表し、残差ベクトルは
e
^
=
y
−
X
β
^
=
y
−
X
(
X
T
X
)
−
1
X
T
y
=
[
I
−
X
(
X
T
X
)
−
1
X
T
]
y
=
M
y
{\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y=\left[I-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}\right]y=My}
となる[2]
M
{\displaystyle M}
X
(
X
T
X
)
−
1
X
T
{\displaystyle X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}}
射影行列 として知られている）は冪等かつ対称な行列であり、このことを用いると残差平方和の計算が
e
^
T
e
^
=
(
M
y
)
T
(
M
y
)
=
y
T
M
T
M
y
=
y
T
M
M
y
=
y
T
M
y
{\displaystyle {\hat {e}}^{\textsf {T}}{\hat {e}}=(My)^{\textsf {T}}(My)=y^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}My=y^{\textsf {T}}MMy=y^{\textsf {T}}My}
のように簡単になる。
M
{\displaystyle M}
β
{\displaystyle \beta }
冪等行列
P
{\displaystyle P}
R(P) 、零空間 を N(P) とすれば、
P
{\displaystyle P}
R(P) への射影作用素であり、さらに直交射影でもあるための必要十分条件は対称行列であることである。
関連項目 脚注
^ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). New York: McGraw–Hill. p. 80. ISBN 0070108137 ^ a b Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (5th ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. pp. 808–809. ISBN 0130661899
^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix analysis . Cambridge University Press. p. p. 148 . ISBN 0521386322
![{\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y=\left[I-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}\right]y=My}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab2fde777170c1f8cab9b4ad6e82b61f358717d)
