ZFにおけるデデキント無限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/06 09:09 UTC 版)
「デデキント無限」の記事における「ZFにおけるデデキント無限」の解説
次の4条件は、ZF上同値である。特に、これらの同値性はACを用いないで証明できることに注意せよ。 A はデデキント無限である。 全射ではないが単射であるようなA からA への関数が存在する。 自然数の集合N からA への単射が存在する。 A は可算無限な部分集合を持つ。 どのようなデデキント無限集合A も以下の条件を満たす。 単射ではないが全射の、A からA への関数が存在する。 このことを、“A は双対デデキント無限である”という。A が双対デデキント無限であるならばA がデデキント無限であるということは（ACを除いたZF上で）証明可能でない。 どのような双対デデキント無限集合も次の（同値な）条件を満たす、ということがZF上で証明できる。 A から可算無限集合への全射が存在する。 A の冪集合がデデキント無限である。 （この条件を満たすことを、弱デデキント無限(weakly Dedekind infinite)であるということがある。） 弱デデキント無限であるならば無限であることはZFにおいて証明されている。 また、整列無限集合はデデキント無限であることもZFにおいて示されている。
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