(Poisson random measure から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/10/05 22:13 UTC 版)
ポアソンランダム測度 （ポアソンランダムそくど、英 : Poisson random measure ）とは、ポアソン分布 に従う確率変数 としての性質を持つ測度 のことである。
(
E
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}
σ
{\displaystyle \sigma }
有限な測度（英語版 ）
μ
{\displaystyle \mu }
測度空間 とする。intensity 測度
μ
{\displaystyle \mu }
ポアソンランダム測度 とはある確率空間
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )}
確率変数 の族
{
N
A
}
A
∈
A
{\displaystyle \{N_{A}\}_{A\in {\mathcal {A}}}}
すべての
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
N
A
{\displaystyle N_{A}}
μ
(
A
)
{\displaystyle \mu (A)}
ポアソン分布 に従う確率変数である。
集合
A
1
,
A
2
,
…
,
A
n
∈
A
{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}}
確率変数 は互いに独立 である。
すべての
ω
∈
Ω
{\displaystyle \omega \in \Omega }
N
∙
(
ω
)
{\displaystyle N_{\bullet }(\omega )}
(
E
,
A
)
{\displaystyle (E,{\mathcal {A}})}
存在 もし
μ
≡
0
{\displaystyle \mu \equiv 0}
N
≡
0
{\displaystyle N\equiv 0}
μ
{\displaystyle \mu }
有限測度（英語版 ） であるならば、パラメータ
μ
(
E
)
{\displaystyle \mu (E)}
ポアソン分布 に従う確率変数
Z
{\displaystyle Z}
確率分布
μ
μ
(
E
)
{\displaystyle {\frac {\mu }{\mu (E)}}}
独立 な確率変数
X
1
,
X
2
,
…
{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }
N
⋅
(
ω
)
=
∑
i
=
1
Z
(
ω
)
δ
X
i
(
ω
)
(
⋅
)
{\displaystyle N_{\cdot }(\omega )=\sum \limits _{i=1}^{Z(\omega )}\delta _{X_{i}(\omega )}(\cdot )}
とすれば、
N
{\displaystyle N}
δ
c
(
A
)
{\displaystyle \delta _{c}(A)}
c
{\displaystyle c}
退化分布 である。有限測度でない場合は、
μ
{\displaystyle \mu }
E
{\displaystyle E}
N
{\displaystyle N}
応用 この種類のランダム測度（英語版 ） は確率過程 のジャンプを記述する時にしばしば用いられる。特にレヴィ過程（英語版 ） のレヴィ-伊藤分解（英語版 ） などである。
参考文献
Sato, K. (2010). Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions . Cambridge University Press. ISBN 0-521-55302-4 .
