分割数
 | この項目「分割数」は途中まで翻訳されたものです。（原文：en:Partition (number theory) 14:16, 19 August 2011） 翻訳作業に協力して下さる方を求めています。ノートページや履歴、翻訳のガイドラインも参照してください。要約欄への翻訳情報の記入をお忘れなく。（2011年8月） |
数論における分割数（ぶんかつすう、英: partition function）p(n) は自然数 n の分割（n をその順番の違いを除いて自然数の和として表す方法）の総数を表す数論的函数である。ただし、規約として p(0) = 1 および負の整数 n < 0 に対して p(n) = 0 と定める。
分割数のリスト
分割数の列について、50番目までの値は オンライン整数列大辞典の数列 A000041 を参照。
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| p(n) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 15 | 22 | 30 | 42 |
- p(100) = 190,569,292
- p(200) = 3,972,999,029,388
- p(1000) = 24,061,467,864,032,622,473,692,149,727,991 ≈ 2.4×1031.
2020年現在[update]、知られている中でこの形で得られる最大の素数は、[1]p(1289844341) で、これは十進法で 40000桁の数値である。
補助函数
分割函数の値を帰納的に求める方法の一つとして、n を k 以上の自然数で分割する場合の数 p(k, n) を補助的な函数として考えるのがある。k を固定したとき、p(k, n) を次の2つで場合分けする。
- 最小の成分が k である。
- 最小の成分が k より大きい。
1. の場合の数は p(k, n − k) である。何故なら、整数 n − k を k 以上の整数で分割した場合全体は、それぞれの場合に "+k" とすると、n の、最小の成分が k の分割と1対1に対応するからである。
この補助函数により、分割数の列の一般項を立式できる：
- 分割数のページへのリンク
