リクレル数とは？わかりやすく解説

数学の未解決問題
十進数のリクレル数は存在するのか?

リクレル数（Lychrel number）とは、桁を前後反転させたものと自身との和を求め（この操作をリクレルプロセスと呼ぶ）、得られた値について同様の操作を繰り返したときに回文数にならない自然数のことである。このプロセスは、これに関連する最も有名な数に因んで「196アルゴリズム」と呼ばれることもある。十進数におけるリクレル数の存在はまだ証明されていないが、196などの多くの数がヒューリスティクス^[1]や統計的根拠に基づいてリクレル数であることが予想されている。リクレル(Lychrel)という名前は、ウェイド・ヴァンランディンガム(Wade VanLandingham)が、自身のガールフレンドのファーストネームであるシェリル(Cheryl)のアナグラムから名付けたものである^[2]。

リクレルプロセス

リクレルプロセスとは、桁を反転させた物と自身との和を求める操作である。例えば、56なら 56 + 65 = 121 、125なら 125 + 521 = 646 のようになる。いくつかの数は、リクレルプロセスを繰り返す（得られた数字についてリクレルプロセスを適用する）と回文数になる。最終的に回文数になるものは、リクレル数ではない。1桁と2桁の数字は全て、リクレルプロセスを繰り返すと最終的に回文数になる。

10,000以下の数字の約80%は4ステップ以内、約90%は7ステップ以内に回文数になる。ここでは、リクレル数ではない数の例をいくつか挙げる。

56 は、1ステップで回文数になる: 56+65 = 121
57 は、2ステップで回文数になる: 57+75 = 132, 132+231 = 363
59 は、3ステップで回文数になる: 59+95 = 154, 154+451 = 605, 605+506 = 1111
89 は、24ステップで回文数となり、最終的な値は8813200023188である。10,000以下の数では、多くの数が最終的に回文数となることが知られている。
10,911 は、55ステップで28桁の回文数4668731596684224866951378664になる。

以下は、回文数になるまでのステップ数が多い非リクレル数の世界記録である。

1186060307891929990 は、261ステップで119桁の回文数44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544になる。これは、2005年にジェイソン・ドーセット(Jason Doucette)のアルゴリズムとプログラムを用いて求められたもので、当時の世界記録となった。
2017年1月23日、ロシアの学生のAndrey S. Shchebetovが、119桁の回文数に到達するまでに261ステップを要する最初の126個の数列を発見したと自身のウェブサイトで発表した。この数列は、OEISでA281506として発表された。この数列の最小の数は、ドーセットが2005年に発見した既知の数であり、それ以外の125個は今回新たに発見されたものである。2017年5月12日までにこの数列は108864個まで拡張された。数列の最後の数は1999291987030606810だった。
2019年4月26日、Rob van Nobelenは、回文数になるまでのステップ数が多い非リクレル数の世界記録を更新した。発見した数は12000700000025339936491で、288ステップを経て142桁の回文数に到達する。OEIS数列A326414には、現在知られている288ステップの非リクレル数19353600個が含まれている。

回文数を形成することが知られていない最小の数は196であり、これは最小のリクレル数の候補である。

リクレル数の桁が反転してできた数もリクレル数である。

プロセスの形式的定義

n を自然数とするとき、b進数（ただし b > 2）のリクレル関数 $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$

[1]

[2]

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