レイヤーケーキ表現

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レイヤーケーキ表現

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/24 02:44 UTC 版)

数学において、n 次元ユークリッド空間 Rⁿ 上で定義される非負実数値可測函数 f のレイヤーケーキ表現（レイヤーケーキひょうげん、英: layer cake representation）とは、次の式のことをいう：

$f(x)=\int _{0}^{+\infty }1_{L(f,t)}(x)\,\mathrm {d} t{\text{ for all }}x\in \mathbb {R} ^{n}.$

ここで 1_E は部分集合 E ⊆ Rⁿ の指示函数を表し、L(f, t) は優位集合

$L(f,t)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}|f(y)\geq t\}$

を表す。レイヤーケーキ表現が可能なことは、次の関係式

$1_{L(f,t)}(x)=1_{[0,f(x)]}(t)$

と次の式より容易に分かる：

$f(x)=\int _{0}^{f(x)}\mathrm {d} t.$

レイヤーケーキ表現と呼ばれる理由は、値 f(x) をレイヤー L(f, t) 毎の和として表現していることによる。すなわち f(x) より下の値 t のみが積分されている。

関連項目

• 対称減少再配分

参考文献

• Gardner, Richard J. (2002). “The Brunn–Minkowski inequality”. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39 (3): 355–405 (electronic). doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2. 
• Lieb, Elliott; Loss, Michael (2001). Analysis. Graduate Studies in Mathematics. 14 (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0821827833.