Koszul公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/19 06:27 UTC 版)
「リーマン幾何学の基本定理」の記事における「Koszul公式」の解説
リーマン幾何学の基本定理の別の証明は、リーマン多様体上の捩れのない接続は必然的にKoszul公式(Koszul formula)により与えられることを示すことである。 2 g ( ∇ X Y , Z ) = ∂ X ( g ( Y , Z ) ) + ∂ Y ( g ( X , Z ) ) − ∂ Z ( g ( X , Y ) ) + g ( [ X , Y ] , Z ) − g ( [ X , Z ] , Y ) − g ( [ Y , Z ] , X ) . {\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=\partial _{X}(g(Y,Z))+\partial _{Y}(g(X,Z))-\partial _{Z}(g(X,Y))+g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X).} このことは、レヴィ・チヴィタ接続の一意性を証明する。存在証明は、この表現では X と Z がテンソル的で、Y がライプニッツ則を満たし、よって接続を定義すること示すことで証明される。Y と Z の公式の対称的部分は、第一行の第一項であり、これは計量接続である。X と Y の公式の反対称部分は第二行の第一項である。
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