ガウス・ボンネの定理とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

ガウス・ボンネの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/08 07:53 UTC 版)

ガウス・ボンネの定理^[1](Gauss–Bonnet theorem)は、リーマン計量が定義された曲面における曲率の積分がその曲面のオイラー標数で表せる、という趣旨の定理である。これは曲面の局所的な微分幾何学的構造（曲率）の積分とその曲面の大域的な位相幾何学的構造（オイラー標数）とを結び付ける重要な定理である。

脚注

出典

^ #小林77 p.173.
^ C. F. Gauss『Disquisitiones generales circa superficies curvas』1827年。
^ ^a ^b ^c #Wu p.1.
^ O. Bonnet (1848). “Mémoire sur la thé orie géné rale des surfaces”. J. de l’Ecole Poly-technique (Tome 19, Cahier 32): 1-146.
^ #小林77 p.128.
^ #Berger pp.112,138.
^ #Lee pp.164,167.
^ #Tu p.92.
^ #Abate p.319
^ #Gilkey p.126
^ #Carmo p.131.
^ ^a ^b #Lee p.151.
^ #Carmo p.129
^ #Zhu pp.1-2.
^ Chen L and Rong Y, Linear Time Recognition Algorithms for Topological Invariants in 3D, arXiv:0804.1982, ICPR 2008
^ ^a ^b ^c #Li p.4.
^ #Li p.17.

注釈

^ すなわち $A$ は2次元円盤と位相同型なC∞級の多様体であり、 $\partialA$ は区分的になめらかであり、 $\partialA$ がなめらかでない部分を多角形の頂点とみなす。 $\partialA$ は区分的になめらかなので、各頂点において右方微分と左方微分が定義でき、（ $A$ 上のリーマン計量で角度を定義したとき）右方微分と左方微分のなす角を外角と定義する。
^ すなわち、 $P(s)$ を $\partialA$ に沿った曲線（を弧長パラメータでパラメとライズしたもの）とし、 ${\vec {n}}$ を $A$ に対して内向きな $\partialA$ の単位法線とするとき、 $\kappa =g({\tfrac {d^{2}P}{ds^{2}}},{\vec {n}})$ と定義する。
^ この多角形のバージョンのガウス・ボンネの定理をlocal Gauss-Bonnet Theorem、オイラー標数を使った一般のバージョンをglobal Gauss-Bonnet Theoremと呼んで区別するもの^[6]や、多角形のバージョンをGauss-Bonnet Formula、一般のバージョンをGauss-Bonnet Theoremと呼んで区別するもの^[7]がある。
^ 写像度の定義はいくつかあるが、ここで述べた定義は $G$ 上でヤコビ行列が退化している点が有限個である場合の定義である。より厳密には、写像度を以下のように定義する。 $S 2$ 上の点 $y$ を $1$ つfixし、 $G -1 (y)$ の各点を $x_{1},\ldots ,x_{m}\in M$ とする。そして各 $x i$ の近傍でガウス写像 $G$ が向きを保つときは $+1$ 、向きを反転するときは $-1$ として和を取ったものを $G$ の写像度という。
なお、 $G$ が退化していない任意の $y$ に対して上記のように定義した写像度は $y$ に依存せず同じ値になるので、写像度はwell-definedである。
写像度の別定義として $G$ がコホモロジーに誘導する写像 $G^{*}~:~H^{*}(S^{2};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} \to H^{*}(M;\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z}$ で $1$ の像 $G * (1)$ の値として定義する、というものがある。
前述した定義は、 $G$ が有限個の点を除いて非退化であればこの定義と同値である。