楕円フィルタ

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楕円フィルタ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/04 18:51 UTC 版)

楕円フィルタ（英: Elliptic filter）またはカウアーフィルタ（英: Cauer filter）は、通過帯域と除去帯域で等リップル性（equiripple）を示すフィルタ回路の一種。各帯域のリップル量は個別に調整可能で、リップルの値が同じ同一次数の他のフィルタと比較すると、通過帯域から除去帯域への利得の変化が最も素早い。逆に通過帯域と除去帯域のリップルの個別調整をせず、成分変動に影響されないフィルタとして設計することもある。

除去帯域のリップルをほぼゼロにしたものを第一種チェビシェフフィルタと呼ぶ。通過帯域のリップルをほぼゼロにしたものを第二種チェビシェフフィルタと呼ぶ。両方のリップルをゼロにしたフィルタはバターワースフィルタとなる。

ローパス楕円フィルタの利得を各周波数 ω の関数として表すと次のようになる。

$G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0})}}}$

四次楕円ローパスフィルタの周波数応答（ε=0.5、ξ=1.05）。水平な線で通過帯域の最小利得、除去帯域での最大利得を示し、垂直な線で正規化された周波数 1 と ξ を示している。

上図の遷移領域を拡大した図

通過帯域では、楕円有理関数の値はゼロと1の間で変化をする。したがって通過帯域の利得は1と $1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}$

八次楕円フィルタの利得の絶対値を複素周波数平面上 (s=σ+jω) で示した図（ε=0.5、ξ=1.05、 $\omega _{0}=1$

上図の遷移領域の拡大図。2つの零点と4つの極が見える。

楕円フィルタの利得の零点は楕円有理関数の極と一致する。

楕円フィルタの利得の極は、第一種チェビシェフフィルタの利得の極とほぼ同じ手法で導出できる。簡単化のため遮断周波数を1にとる。楕円フィルタの利得の極 $(\omega _{pm})$

八次楕円フィルタ（ξ=1.1）の極の正規化されたQ値を脈動率 ε の関数として描画した図。各曲線は4つの極に対応している（複素共役な極や符号の反転した極は同じQ値になるため）。全ての極のQ値は ε_Qmin=1/√L_n=0.02323... で同時に最小となる。

一般に楕円フィルタの特性は、通過帯域のリップル値、除去帯域のリップル値、遮断の急峻度などで表される。それによって使用可能なフィルタ次数の最小値が決定される。また設計時に考慮すべきこととして、電子部品の特性値が利得関数にどの程度影響するかという問題がある。これは伝達関数の極のQ値に反比例する。極のQ値は以下のように定義される。

$Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}$

楕円フィルタは他のフィルタよりも急峻だが、全帯域にリップルが生じている。

参考文献

• Daniels, Richard W. (1974年). Approximation Methods for Electronic Filter Design. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6 
• Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V., Evans, Brian L. (2001年) (English). Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2 
• Anatol I. Zverev (1967年, 2005年). Handbook of Filter Synthesis, (Chap. 4, Elliptic Functions and Elements of Realization), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-74942-4 .
• 渡部和：「線形回路理論」第2版、昭晃堂(電子回路講座 2）(1971年12月)。第5章"フィルタの設計".