巡回加群
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/25 09:22 UTC 版)
数学において、巡回加群（じゅんかいかぐん、英: cyclic module）とは、1つの元で生成される加群のことである。
定義
環 R 上の左加群 M が巡回加群であるとは、ある x ∈ M が存在して、
となることである。右加群についても同様に定義される。
例
- 正則加群 RR は巡回 R-加群である。
- 巡回群は巡回 Z-加群である。
- 単純加群は巡回加群である。
- 代数的閉体 F 上の線型空間 V をとる。線型作用素 T: V → V の固有値 λ に関する広義固有空間 V(λ) は巡回 F[T]-加群である。
性質
R を環とする。左 R-加群 M が巡回加群であるための必要十分条件は、M が RR の剰余加群となることである[1]。具体的には、M = Rx のとき、準同型定理より 
となる。ただし、
である。
巡回 Z-加群の部分加群は再び巡回加群であるが、一般の環上の巡回加群の部分加群は巡回加群とは限らない[2]。
脚注
- ^ 岩永 & 佐藤 2002, 命題2-2-4.
- ^ たとえば R = M = Z[x] とすると、その部分加群 2M + xM は巡回加群ではない。
参考文献
- 岩永, 恭雄、佐藤, 眞久 『環と加群のホモロジー代数的理論』 日本評論社、2002年、第1版。ISBN 4-535-78367-5。
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