Binetの公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/24 20:31 UTC 版)
ペラン数は、以下の方程式の解の累乗を用いて表すことが出来る。 x 3 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x-1=0} この方程式は3つの解を持ち、1つは実数解（p とする、プラスチック数と呼ばれる）、2つは複素共役な解（q, r とする）である。これらを用いて、フィボナッチ数列におけるBinetの公式と同様の公式を得ることが出来る。 P ( n ) = p n + q n + r n {\displaystyle P\left(n\right)={p^{n}}+{q^{n}}+{r^{n}}} 複素解 q, r の絶対値は1より小さいので、 n を大きくすれば q^n, r^n は0に近づく。従って、十分大きな n に対しては、公式は以下のように簡略化出来る。 P ( n ) ≈ p n {\displaystyle P\left(n\right)\approx {p^{n}}} この公式は、大きな n に対してペラン数を高速に計算するのに用いられる。ペラン数列の連続する項の比は p 、つまりプラスチック数に近づき、その値はおおよそ 1.324718 である。ペラン数列・パドヴァン数列におけるプラスチック数は、フィボナッチ数列における黄金比や、ペル数における白銀比に対応するものとなっている。
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