ゴレイ符号

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ゴレイ符号

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/25 08:40 UTC 版)

ゴレイ符号（英: Golay code）は、数学の散在型単純群の理論に基づく符号の種類である。名前の由来はスイスの数学者マルセル・J・E・ゴレイ（英語版）。

2元ゴレイ符号

拡張2元ゴレイ符号の生成行列

2元ゴレイ符号（英: Binary Golay code）は、デジタル通信に用いられる誤り訂正符号の一種である。

2元ゴレイ符号は2種類存在する。拡張2元ゴレイ符号（extended-）は12ビットのデータを24ビットの符号語に符号化し、任意の3ビットの誤りを訂正可能で、4ビットの誤りを検出可能である。完全2元ゴレイ符号（perfect-）は符号語長23ビットで、拡張2元ゴレイ符号から特定の1ビットを除いたものである（逆に完全2元ゴレイ符号にパリティビットを追加したのが拡張2元ゴレイ符号である）。これらを標準的な符号パラメータで表すと、[24, 12, 8] と [23, 12, 7] である。

数学的定義

数学的には、拡張2元ゴレイ符号は24ビット空間 V=F₂²⁴ の12次部分空間 W からなり、W の任意の2つの元は少なくとも8箇所の座標位置が異なる。同様に W の任意のゼロでない元は、少なくとも8箇所の座標がゼロでない。

• W 上に分布するゼロでない座標の集合 w が符号語の集合である。拡張2元ゴレイ符号では、全ての符号語のハミング重みは、0, 8, 12, 16, 24 のいずれかである。
• 座標の再ラベル付けまで、W は一意である。

完全2元ゴレイ符号は完全符号である。すなわち、符号を中心とする半径3の球がベクトル空間のパーティションを形成する。

完全2元ゴレイ符号の自己同型群は、マシュー群 ${\displaystyle M_{23}}$