B-スプライン曲線

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B-スプライン曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/14 09:37 UTC 版)

B-スプライン曲線と制御点の例

B-スプライン曲線 （Bスプラインきょくせん、（英: B-spline curve）は、与えられた複数の制御点とノットから定義される滑らかな曲線である。

区分多項式により表現されているため、一部を変更しても曲線全体に影響は及ばない等の性質がある。ベジェ曲線とともに、コンピュータグラフィックスの世界で広く利用されている。なお、B-splineはBasis spline（Basis＝基底）の省略形である。曲線は必ずしも制御点を通らない。

定義

パラメータ $t\in {\mathbb {R}}$

B-スプライン三角形配列

上の図は、 $n=2,m=8$

一様ノットベクトルに対する基底関数と曲線の例（n=3, m=9）

開一様ノットベクトル

開一様ノットベクトル （かいいちようノットベクトル、（英: open uniform knot vector）はベクトルの両端がそれぞれB-スプラインの次数だけ重複しているノットベクトルである。 一様間隔ノットベクトル （いちようかんかくノットベクトル、（英: uniformly-spaced knot vector）とも。 開一様ノットベクトルは次の手順で作られる：

• 最初の $n+1$
  開一様ノットベクトルに対する基底関数と曲線の例（n=3, m=9）

  非一様ノットベクトル

  非一様ノットベクトル （ひいちようノットベクトル、（英: non-uniform knot vector）はノットが不規則に配置されたノットベクトルである。

  ノットベクトルの性質

  • ノット数が $2(n+1)$
    closed B-スプラインの例

    一様B-スプライン曲線

    一様ノットベクトルで定義されるB-スプライン曲線を一様（uniform）B-スプライン曲線と呼ぶ。

    行列形式

    一様2次B-スプライン曲線

    一様なノットにおける2次B-スプライン曲線において、B-スプライン基底関数は次のようになる。

    $b_{j,2}(t)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}t^{2}\\-t^{2}+t+{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}(1-t)^{2}\end{cases}}$

    ベジェ曲線への変換例

    開一様3次B-スプライン曲線の制御点変換行列 $\mathbf {R_{bz}} ^{-1}\mathbf {R} _{i}$

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B-スプライン曲線

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「スプライン曲線」の記事における「B-スプライン曲線」の解説

詳細は「B-スプライン曲線」を参照 コンピュータグラフィックス等では、こちらのほうが専ら多用されている。B-スプライン曲線は、前節までで述べたような（伝統的な）スプラインとは異なり、制御点を必ずしも通らないスプライン曲線である。「ベジェ曲線とB-スプライン曲線」といったように対比される場合、3次B-スプライン曲線のことが多い（ベジェ曲線もスプライン曲線の一種と言えなくもないが）。また、端の制御点が曲線の端点でもあるような場合は、端の制御点（制御ノット）を多重ノットとした、一種の非一様B-スプライン曲線である（NURBSの記事も参照）。