ペジエ曲線

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ベジェ曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/02 02:38 UTC 版)

ベジェ曲線（ベジェきょくせん、（英: Bézier curve）は N+1 個の制御点から得られる N 次曲線である。ベジエ曲線とも。

定義

以下の要素を所与とする：

• 次数: ${\displaystyle N\in {\mathbb {N}}}$
  10次のバーンスタイン基底関数。0≦t≦1

  ベジェ曲線は制御点座標の加重平均と見做せる。

  バーンスタイン基底関数は常に和が1であり（⇒バーンスタイン多項式#1の分割）^[6]、かつ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$

  3次ベジェ曲線の面積の例

  3次ベジェ曲線の連続性^[15]

  2つの3次ベジェ曲線 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\mathbf {B} }_{0}&{\mathbf {B} }_{1}&{\mathbf {B} }_{2}&{\mathbf {B} }_{3}\end{bmatrix}}}$

  連続性の例

  3次ベジェ曲線の分割

  ド・カステリョのアルゴリズムを用いて任意の ${\displaystyle t}$

  端点 P₀, P₃ および制御点 P₁, P₂ からなる3次ベジェ曲線

  前節の数式を適宜変形するなどして、コンピュータプログラムに実装すれば描画はできるわけだが、以下では3次のベジェ曲線（4個の制御点で示される曲線）を例として、手作業を念頭に置いた作図法を示す。この手順を基にした描画プログラムにも有用性があり、また人によってはベジェ曲線の性質を直観的に把握するにも有効かもしれない。

  右図の P₀, P₁, P₂, P₃ が与えられた制御点である。今、ベジェ曲線の P₀ から t (0 < t < 1) の比率の位置の点の座標を求めるためには、次のように計算すればよい。

  1. まず、制御点を順に結んで得られる3つの線分 P₀P₁, P₁P₂, P₂P₃（水色の折れ線）をそれぞれ t : 1 − t の比率で分割する点、P₄, P₅, P₆ を求める。
  2. 次に、これらの点を順に結んで得られる2つの線分 P₄P₅, P₅P₆（橙色の折れ線）を再びそれぞれ t : 1 − t の比率で分割する点 P₇, P₈ を求める。
  3. 最後に、この2点を結ぶ線分 P₇P₈（緑色の線分）をさらに t : 1 − t の比率で分割する点 P₉ を求めると、この点がベジェ曲線上の点となる。
  4. この作業を 0 < t < 1 の範囲で繰り返し行うことにより、P₀, P₁, P₂, P₃ を制御点とする3次ベジェ曲線（赤色の曲線）が得られる。

  交点の算出

  図形分割による方法

  ベジェ曲線は制御点から成る凸包に内包される性質を利用して、交点が存在する範囲を限定し曲線を切り出すことを反復するBezier clipping^[16]がある。

  代数方程式による方法（Implicitization）^[17]

  直線とベジェ曲線の交点は、直線の式の ${\displaystyle x,y}$

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