2 × 2 の区分行列の逆行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/19 10:21 UTC 版)
「区分行列」の記事における「2 × 2 の区分行列の逆行列」の解説
本節では、A は正則行列、D は正方行列とし、区分行列 P = [ A B C D ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}} の逆行列を与える。 まず、行列式について、 | P | = | A | | D − C A − 1 B | {\displaystyle |P|=|A||D-CA^{-1}B|\,} が成り立つ。よって、P が正則であるための必要十分条件は、D − CA−1B も正則であることであり、このとき逆行列は [ A B C D ] − 1 = [ A − 1 + A − 1 B ( D − C A − 1 B ) − 1 C A − 1 − A − 1 B ( D − C A − 1 B ) − 1 − ( D − C A − 1 B ) − 1 C A − 1 ( D − C A − 1 B ) − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}} で与えられる。D も正則な場合は [ A B C D ] − 1 = [ ( A − B D − 1 C ) − 1 − A − 1 B ( D − C A − 1 B ) − 1 − ( D − C A − 1 B ) − 1 C A − 1 ( D − C A − 1 B ) − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}} と表される。さらに C が零行列 O に等しい場合は [ A B O D ] − 1 = [ A − 1 − A − 1 B D − 1 O D − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\O&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}&-A^{-1}BD^{-1}\\O&D^{-1}\end{bmatrix}}} となる。
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