長さと面積の計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 02:08 UTC 版)
第一基本形式は、曲面の計量的な性質を完全に記述する。したがって、第一基本形式によって曲面上の曲線の長さや曲面上の領域の面積の計算ができるようになる。線素（line element）ds は、第一基本形式の係数を用いて次のように表すことができる。 d s 2 = E d u 2 + 2 F d u d v + G d v 2 . {\displaystyle ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,.} 古典的な面積要素 dA = |Xu × Xv| du dv は、ラグランジュの恒等式（Lagrange's identity）を補助的に使って、第一基本形式を用いて表すことができる。 d A = | X u × X v | d u d v = ⟨ X u , X u ⟩ ⟨ X v , X v ⟩ − ⟨ X u , X v ⟩ 2 d u d v = E G − F 2 d u d v . {\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}
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